一般項が $4n^2 + 3n - 1$ で与えられる数列の、初項から第10項までの和を求める問題です。

1. 問題の内容

一般項が $4n^2 + 3n - 1$ で与えられる数列の、初項から第10項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

初項から第10項までの和 $S_{10}$ は、一般項 $a_n = 4n^2 + 3n - 1$ を用いて、次のように表されます。

$S_{10} = \sum_{n=1}^{10} a_n = \sum_{n=1}^{10} (4n^2 + 3n - 1)$

シグマの性質を利用して、和を分解します。

$S_{10} = \sum_{n=1}^{10} 4n^2 + \sum_{n=1}^{10} 3n - \sum_{n=1}^{10} 1$

定数をシグマの外に出します。

$S_{10} = 4\sum_{n=1}^{10} n^2 + 3\sum_{n=1}^{10} n - \sum_{n=1}^{10} 1$

$\sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$, $\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2}$, $\sum_{n=1}^{N} 1 = N$

の公式を利用します。$N=10$を代入すると、

$\sum_{n=1}^{10} n^2 = \frac{10(10+1)(2*10+1)}{6} = \frac{10 * 11 * 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385$

$\sum_{n=1}^{10} n = \frac{10(10+1)}{2} = \frac{10*11}{2} = 55$

$\sum_{n=1}^{10} 1 = 10$

したがって、

$S_{10} = 4 * 385 + 3 * 55 - 10 = 1540 + 165 - 10 = 1695$

3. 最終的な答え

1695