4枚の硬貨を投げたとき、表の出た枚数から裏の出た枚数を引いた数を $X$ とします。このとき、確率変数 $\frac{1}{2}X + 3$ の期待値と分散を求めます。

1. 問題の内容

4枚の硬貨を投げたとき、表の出た枚数から裏の出た枚数を引いた数を $X$ とします。このとき、確率変数 $\frac{1}{2}X + 3$ の期待値と分散を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$X$ の取りうる値を考えます。

表の枚数が $k$ 枚のとき、裏の枚数は $4-k$ 枚なので、$X = k - (4-k) = 2k - 4$ となります。

$k$ は $0, 1, 2, 3, 4$ のいずれかの値を取るので、$X$ は $-4, -2, 0, 2, 4$ のいずれかの値を取ります。

次に、$X$ の確率分布を求めます。

表が $k$ 枚出る確率は、二項分布 $B(4, \frac{1}{2})$ に従います。

つまり、$P(X = 2k-4) = {}_4C_k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{4-k} = {}_4C_k (\frac{1}{2})^4 = \frac{{}_4C_k}{16}$ となります。

したがって、$X$ の確率分布は次のようになります。

$P(X=-4) = \frac{{}_4C_0}{16} = \frac{1}{16}$

$P(X=-2) = \frac{{}_4C_1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

$P(X=0) = \frac{{}_4C_2}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

$P(X=2) = \frac{{}_4C_3}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

$P(X=4) = \frac{{}_4C_4}{16} = \frac{1}{16}$

次に、$X$ の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を計算します。

$E[X] = (-4) \times \frac{1}{16} + (-2) \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{1}{4} + 4 \times \frac{1}{16} = -\frac{4}{16} - \frac{8}{16} + 0 + \frac{8}{16} + \frac{4}{16} = 0$

$E[X^2] = (-4)^2 \times \frac{1}{16} + (-2)^2 \times \frac{1}{4} + 0^2 \times \frac{3}{8} + 2^2 \times \frac{1}{4} + 4^2 \times \frac{1}{16} = \frac{16}{16} + \frac{16}{16} + 0 + \frac{16}{16} + \frac{16}{16} = 4$

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = 4 - 0^2 = 4$

最後に、$\frac{1}{2}X + 3$ の期待値と分散を求めます。

$E[\frac{1}{2}X + 3] = \frac{1}{2}E[X] + 3 = \frac{1}{2} \times 0 + 3 = 3$

$V[\frac{1}{2}X + 3] = (\frac{1}{2})^2 V[X] = \frac{1}{4} \times 4 = 1$

3. 最終的な答え

期待値: 3

分散: 1