29個のデータ $x_i = ai$ ($i = 1, 2, 3, \dots, 29$) からなる変数 $x$ について、以下の問いに答えます。ただし、$a$ は正の定数です。また、必要であれば、正の整数 $n$ に対して、 $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ であることを用います。 (1) $x$ の平均値 $\bar{x}$ と標準偏差 $s_x$ を求めます。 (2) 変量 $z$ を $z = \frac{x - \bar{x}}{s_x}$ により定めます。このとき、$z$ の平均値 $\bar{z}$ と標準偏差 $s_z$ を求めます。

1. 問題の内容

29個のデータ $x_i = ai$ ($i = 1, 2, 3, \dots, 29$) からなる変数 $x$ について、以下の問いに答えます。ただし、$a$ は正の定数です。また、必要であれば、正の整数 $n$ に対して、

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

であることを用います。

(1) $x$ の平均値 $\bar{x}$ と標準偏差 $s_x$ を求めます。

(2) 変量 $z$ を $z = \frac{x - \bar{x}}{s_x}$ により定めます。このとき、$z$ の平均値 $\bar{z}$ と標準偏差 $s_z$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 平均値 $\bar{x}$ を求めます。

$\bar{x} = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} x_i = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} ai = \frac{a}{29} \sum_{i=1}^{29} i = \frac{a}{29} \cdot \frac{29(29+1)}{2} = \frac{a}{29} \cdot \frac{29 \cdot 30}{2} = 15a$

次に、$x$ の分散 $s_x^2$ を求めます。

$s_x^2 = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} (ai - 15a)^2 = \frac{a^2}{29} \sum_{i=1}^{29} (i - 15)^2 = \frac{a^2}{29} \sum_{i=1}^{29} (i^2 - 30i + 225)$

$\sum_{i=1}^{29} i^2 = \frac{29(29+1)(2 \cdot 29 + 1)}{6} = \frac{29 \cdot 30 \cdot 59}{6} = 29 \cdot 5 \cdot 59 = 8555$

$\sum_{i=1}^{29} i = \frac{29(29+1)}{2} = \frac{29 \cdot 30}{2} = 29 \cdot 15 = 435$

$\sum_{i=1}^{29} 225 = 29 \cdot 225 = 6525$

$s_x^2 = \frac{a^2}{29} (8555 - 30 \cdot 435 + 6525) = \frac{a^2}{29} (8555 - 13050 + 6525) = \frac{a^2}{29} (2030) = 70 a^2$

したがって、標準偏差 $s_x = \sqrt{70 a^2} = a \sqrt{70}$

(2) $z = \frac{x - \bar{x}}{s_x}$

$\bar{z} = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} z_i = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} \frac{x_i - \bar{x}}{s_x} = \frac{1}{29 s_x} \sum_{i=1}^{29} (x_i - \bar{x}) = \frac{1}{29 s_x} (\sum_{i=1}^{29} x_i - 29 \bar{x}) = \frac{1}{29 s_x} (29 \bar{x} - 29 \bar{x}) = 0$

$s_z^2 = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} (z_i - \bar{z})^2 = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} (\frac{x_i - \bar{x}}{s_x} - 0)^2 = \frac{1}{29 s_x^2} \sum_{i=1}^{29} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{s_x^2} \cdot s_x^2 = 1$

したがって、$s_z = \sqrt{1} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\bar{x} = 15a$

$s_x = a\sqrt{70}$

(2) $\bar{z} = 0$

$s_z = 1$