与えられた式 $ (x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15 $ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、式の中の項をうまく組み合わせて展開し、整理していく。

$(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$

$= [(x-1)(x-7)][(x-3)(x-5)] + 15$

$= (x^2 - 8x + 7)(x^2 - 8x + 15) + 15$

ここで、$A = x^2 - 8x$ と置くと、

$(A + 7)(A + 15) + 15$

$= A^2 + 22A + 105 + 15$

$= A^2 + 22A + 120$

$= (A + 10)(A + 12)$

$A$を元に戻すと、

$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$

$(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$

3. 最終的な答え

$(x-2)(x-6)(x^2-8x+10)$