確率変数 $X$ は、$X=3$ または $X=a$ のどちらかの値をとる。確率変数 $Y = 2X - 2$ の期待値が $E(Y) = 6$ 、分散が $V(Y) = 16$ であるとき、$E(X)$ と $V(X)$ の値を求める。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ は、$X=3$ または $X=a$ のどちらかの値をとる。確率変数 $Y = 2X - 2$ の期待値が $E(Y) = 6$ 、分散が $V(Y) = 16$ であるとき、$E(X)$ と $V(X)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$E(Y)$ と $V(Y)$ を $E(X)$ と $V(X)$ で表す。

$E(Y) = E(2X - 2) = 2E(X) - 2$

$V(Y) = V(2X - 2) = 2^2 V(X) = 4V(X)$

問題文より $E(Y) = 6$ であるから、

$2E(X) - 2 = 6$

$2E(X) = 8$

$E(X) = 4$

問題文より $V(Y) = 16$ であるから、

$4V(X) = 16$

$V(X) = 4$

次に、$X=3$ となる確率を $p$ とすると、$X=a$ となる確率は $1-p$ となる。

$E(X) = 3p + a(1-p) = 4$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = E(X^2) - 4^2 = E(X^2) - 16 = 4$

よって、$E(X^2) = 20$

$E(X^2) = 3^2 p + a^2(1-p) = 9p + a^2(1-p) = 20$

$3p + a(1-p) = 4$ より、 $3p + a - ap = 4$ $\cdots (1)$

$9p + a^2(1-p) = 20$ より、$9p + a^2 - a^2p = 20$ $\cdots (2)$

(1)より、$a(1-p) = 4-3p$ なので、$a = \frac{4-3p}{1-p}$

(2)より、$a^2(1-p) = 20-9p$ なので、$a^2 = \frac{20-9p}{1-p}$

$a^2 = (\frac{4-3p}{1-p})^2 = \frac{16 - 24p + 9p^2}{1 - 2p + p^2}$

$\frac{20-9p}{1-p} = \frac{16 - 24p + 9p^2}{1 - 2p + p^2}$

$(20-9p)(1 - 2p + p^2) = (16 - 24p + 9p^2)(1-p)$

$20 - 40p + 20p^2 - 9p + 18p^2 - 9p^3 = 16 - 16p - 24p + 24p^2 + 9p^2 - 9p^3$

$20 - 49p + 38p^2 - 9p^3 = 16 - 40p + 33p^2 - 9p^3$

$4 - 9p + 5p^2 = 0$

$(5p-4)(p-1) = 0$

$p = 1$ または $p = \frac{4}{5}$

$p = 1$ のとき、$a = \frac{4-3(1)}{1-1} = \frac{1}{0}$ となり、不適。

$p = \frac{4}{5}$ のとき、$a = \frac{4-3(\frac{4}{5})}{1-\frac{4}{5}} = \frac{4-\frac{12}{5}}{\frac{1}{5}} = 5(4-\frac{12}{5}) = 20-12 = 8$

3. 最終的な答え

$E(X) = 4$

$V(X) = 4$