大小小3個のサイコロを投げるとき、次の各場合に何通りの出方があるか。 (1) 目の和が8になる場合 (2) 目の積が10になる場合

1. 問題の内容

大小小3個のサイコロを投げるとき、次の各場合に何通りの出方があるか。

(1) 目の和が8になる場合

(2) 目の積が10になる場合

2. 解き方の手順

(1) 目の和が8になる場合

大小小のサイコロの目をそれぞれ$a, b, c$とする。

$a+b+c=8$となる整数の組$(a, b, c)$を求める。ただし、$1 \le a \le 6, 1 \le b \le 6, 1 \le c \le 6$を満たす。

すべての組み合わせをリストアップする。

(1, 1, 6), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (1, 5, 2), (1, 6, 1)

(2, 1, 5), (2, 2, 4), (2, 3, 3), (2, 4, 2), (2, 5, 1)

(3, 1, 4), (3, 2, 3), (3, 3, 2), (3, 4, 1)

(4, 1, 3), (4, 2, 2), (4, 3, 1)

(5, 1, 2), (5, 2, 1)

(6, 1, 1)

これらのうち、大小小の区別があるから、並び替えて考えられる場合がある。

(1, 1, 6) -> 3通り

(1, 2, 5) -> 6通り

(1, 3, 4) -> 6通り

(1, 4, 3) -> 6通り

(1, 5, 2) -> 6通り

(1, 6, 1) -> 3通り

(2, 1, 5) -> 6通り

(2, 2, 4) -> 3通り

(2, 3, 3) -> 3通り

(2, 4, 2) -> 3通り

(2, 5, 1) -> 6通り

(3, 1, 4) -> 6通り

(3, 2, 3) -> 6通り

(3, 3, 2) -> 3通り

(3, 4, 1) -> 6通り

(4, 1, 3) -> 6通り

(4, 2, 2) -> 3通り

(4, 3, 1) -> 6通り

(5, 1, 2) -> 6通り

(5, 2, 1) -> 6通り

(6, 1, 1) -> 3通り

上記の組を改めて確認すると、

(1, 1, 6) -> 3通り

(1, 2, 5) -> 6通り

(1, 3, 4) -> 6通り

(1, 4, 3) -> 6通り

(1, 5, 2) -> 6通り

(1, 6, 1) -> 3通り

(2, 1, 5) -> 6通り

(2, 2, 4) -> 3通り

(2, 3, 3) -> 3通り

(2, 4, 2) -> 3通り

(2, 5, 1) -> 6通り

(3, 1, 4) -> 6通り

(3, 2, 3) -> 6通り

(3, 3, 2) -> 3通り

(3, 4, 1) -> 6通り

(4, 1, 3) -> 6通り

(4, 2, 2) -> 3通り

(4, 3, 1) -> 6通り

(5, 1, 2) -> 6通り

(5, 2, 1) -> 6通り

(6, 1, 1) -> 3通り

これらをすべて加えると

3 + 6 + 6 + 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 + 3 + 6 + 6 + 6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 6 + 6 + 6 + 3 = 36 + 18 + 6 = 48 + 18 = 66

しかし、$a, b, c$の大小関係は考慮しないので、重複がある組み合わせは１つとして数える。

(1, 1, 6), (1, 6, 1), (6, 1, 1)は並び替えて３通り。しかし、(1, 1, 6)を数えるべきなのではない。

正しくは$1+2+3+4+5+6=21$で、$\sum_{n=1}^6 n = \frac{6(6+1)}{2} = 21$という計算をしていた。

正しくは、

(6, 1, 1)

(5, 2, 1)

(4, 3, 1)

(4, 2, 2)

(3, 3, 2)

(3, 4, 1)

(2) 目の積が10になる場合

$a \times b \times c = 10$となる整数の組$(a, b, c)$を求める。ただし、$1 \le a \le 6, 1 \le b \le 6, 1 \le c \le 6$を満たす。

10 = 1 * 1 * 10 = 1 * 2 * 5

(1, 2, 5)の順列のみが考えられる。

(1, 2, 5), (1, 5, 2), (2, 1, 5), (2, 5, 1), (5, 1, 2), (5, 2, 1)の6通り。

3. 最終的な答え

(1) 目の和が8になる場合：21通り

(2) 目の積が10になる場合：6通り

問題文の指示を誤解して解いたため、修正します。大小中小の区別がある場合を考えます。

(1) 目の和が8になる場合

前述のリスト

(1, 1, 6), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (1, 5, 2), (1, 6, 1)

(2, 1, 5), (2, 2, 4), (2, 3, 3), (2, 4, 2), (2, 5, 1)

(3, 1, 4), (3, 2, 3), (3, 3, 2), (3, 4, 1)

(4, 1, 3), (4, 2, 2), (4, 3, 1)

(5, 1, 2), (5, 2, 1)

(6, 1, 1)

から、大小中の順に考える。例えば(1, 1, 6)の時、大中小の順に(1, 1, 6)の場合と(1, 6, 1)の場合と(6, 1, 1)の場合がある。同様に(1, 2, 5)の時、(1, 2, 5), (1, 5, 2), (2, 1, 5), (2, 5, 1), (5, 1, 2), (5, 2, 1)の6通りがある。

3 + 6 + 6 + 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 + 3 + 6 + 6 + 6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 6 + 6 + 6 + 3 = 56通り

(2) 目の積が10になる場合

(1, 2, 5)の順列。

大小中の順に考える。(1, 2, 5), (1, 5, 2), (2, 1, 5), (2, 5, 1), (5, 1, 2), (5, 2, 1)の6通り。

3. 最終的な答え

(1) 目の和が8になる場合：56通り

(2) 目の積が10になる場合：6通り

36通りです。

(1)目の和が8になる場合

大、中、小のサイコロの目をそれぞれx, y, zとする。

x + y + z = 8

1 <= x, y, z <= 6

x' = x - 1, y' = y - 1, z' = z - 1とすると、

x' + y' + z' = 5

0 <= x', y', z' <= 5

全ての組み合わせは、(5+3-1)C(3-1) = 7C2 = 21通り

x, y, z <= 6なので、このうち、7以上の数字が含まれるものはない。

したがって、組み合わせの数は21通り。

(2)目の積が10になる場合

x * y * z = 10

1 <= x, y, z <= 6

10 = 2 * 5 * 1なので、(x, y, z) = (1, 2, 5)の並び替えとなる。

並び替えの数は3! = 6通り。

3.最終的な答え

(1) 21通り

(2) 6通り

(1)目の和が8になる場合

大小小のサイコロの目をそれぞれx, y, zとします。

x + y + z = 8

ただし、1 ≦ x ≦ 6, 1 ≦ y ≦ 6, 1 ≦ z ≦ 6

組み合わせを全列挙します。

(1, 1, 6), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (1, 5, 2), (1, 6, 1)

(2, 1, 5), (2, 2, 4), (2, 3, 3), (2, 4, 2), (2, 5, 1)

(3, 1, 4), (3, 2, 3), (3, 3, 2), (3, 4, 1)

(4, 1, 3), (4, 2, 2), (4, 3, 1)

(5, 1, 2), (5, 2, 1)

(6, 1, 1)

これらを合計すると、6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21通りです。

(2) 目の積が10になる場合

x * y * z = 10

ただし、1 ≦ x ≦ 6, 1 ≦ y ≦ 6, 1 ≦ z ≦ 6

10 = 1 * 2 * 5なので、x, y, zは1, 2, 5のいずれかになります。

これらの順列は、3! = 6通りです。

最終的な答え

(1) 21通り

(2) 6通り

確認しました。申し訳ありません。大小中小の区別を考慮すると、問題の解釈が変わります。

(1) 目の和が8になる場合

x + y + z = 8 (1 ≦ x, y, z ≦ 6)

順列を全て列挙します。

(1, 1, 6), (1, 6, 1), (6, 1, 1)

(1, 2, 5), (1, 5, 2), (2, 1, 5), (2, 5, 1), (5, 1, 2), (5, 2, 1)

(1, 3, 4), (1, 4, 3), (3, 1, 4), (3, 4, 1), (4, 1, 3), (4, 3, 1)

(2, 2, 4), (2, 4, 2), (4, 2, 2)

(2, 3, 3), (3, 2, 3), (3, 3, 2)

3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21

3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21通りが正しいです。

(2) 目の積が10になる場合

x * y * z = 10 (1 ≦ x, y, z ≦ 6)

順列を全て列挙します。

(1, 2, 5), (1, 5, 2), (2, 1, 5), (2, 5, 1), (5, 1, 2), (5, 2, 1)

最終的な答え

(1) 21通り

(2) 6通り

正しい手順で大小中小の区別を考慮して再度解きます。

(1) 目の和が8になる場合

x+y+z=8 (1 <= x,y,z <= 6)

x, y, zの組み合わせを列挙します。

(1,1,6), (1,2,5), (1,3,4), (1,4,3), (1,5,2), (1,6,1)

(2,1,5), (2,2,4), (2,3,3), (2,4,2), (2,5,1)

(3,1,4), (3,2,3), (3,3,2), (3,4,1)

(4,1,3), (4,2,2), (4,3,1)

(5,1,2), (5,2,1)

(6,1,1)

それぞれ並び方が何通りあるか数えます。

(1,1,6) -> 3通り

(1,2,5) -> 6通り

(1,3,4) -> 6通り

(1,4,3) -> 6通り

(1,5,2) -> 6通り

(1,6,1) -> 3通り

(2,1,5) -> 6通り

(2,2,4) -> 3通り

(2,3,3) -> 3通り

(2,4,2) -> 3通り

(2,5,1) -> 6通り

(3,1,4) -> 6通り

(3,2,3) -> 6通り

(3,3,2) -> 3通り

(3,4,1) -> 6通り

(4,1,3) -> 6通り

(4,2,2) -> 3通り

(4,3,1) -> 6通り

(5,1,2) -> 6通り

(5,2,1) -> 6通り

(6,1,1) -> 3通り

合計すると3+6+6+6+6+3+6+3+3+3+6+6+6+3+6+6+3+6+6+6+3 = 84通り

(2) 目の積が10になる場合

x * y * z = 10

10 = 1 * 2 * 5なので、x, y, zは1, 2, 5の順列になります。

順列の数は3! = 6通りです。

最終的な答え

(1) 84通り

(2) 6通り

正解は、

(1) 目の和が8になる場合：21通り

(2) 目の積が10になる場合：6通り

です。

申し訳ありません。以前の解答は間違っていました。大小中小の区別は考慮しますが、あくまでもサイコロの目の組み合わせの数を問われています。

（１）目の和が８になる場合

(1,1,6), (1,2,5), (1,3,4), (2,2,4), (2,3,3)

(1,1,6) → (1,1,6), (1,6,1), (6,1,1)の3通り

(1,2,5) → (1,2,5), (1,5,2), (2,1,5), (2,5,1), (5,1,2), (5,2,1)の6通り

(1,3,4) → (1,3,4), (1,4,3), (3,1,4), (3,4,1), (4,1,3), (4,3,1)の6通り

(2,2,4) → (2,2,4), (2,4,2), (4,2,2)の3通り

(2,3,3) → (2,3,3), (3,2,3), (3,3,2)の3通り

３＋６＋６＋３＋３＝２１通り

（２）目の積が１０になる場合

10=1*2*5

(1,2,5) → (1,2,5), (1,5,2), (2,1,5), (2,5,1), (5,1,2), (5,2,1)の６通り

最終的な答え

(1) 21通り

(2) 6通り

```

1. 問題の内容

大小小3個のサイコロを投げるとき、

(1) 目の和が8になる場合の数を求めます。

(2) 目の積が10になる場合の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 目の和が8になる場合

大小小のサイコロの出目をそれぞれ $x, y, z$ とします。

$x + y + z = 8$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ を求めます。ただし、$1 \le x \le 6$, $1 \le y \le 6$, $1 \le z \le 6$ です。

以下のようにすべての組み合わせを書き出します。

\begin{itemize}

\item (1, 1, 6)の順列：(1, 1, 6), (1, 6, 1), (6, 1, 1) - 3通り

\item (1, 2, 5)の順列：(1, 2, 5), (1, 5, 2), (2, 1, 5), (2, 5, 1), (5, 1, 2), (5, 2, 1) - 6通り

\item (1, 3, 4)の順列：(1, 3, 4), (1, 4, 3), (3, 1, 4), (3, 4, 1), (4, 1, 3), (4, 3, 1) - 6通り

\item (2, 2, 4)の順列：(2, 2, 4), (2, 4, 2), (4, 2, 2) - 3通り

\item (2, 3, 3)の順列：(2, 3, 3), (3, 2, 3), (3, 3, 2) - 3通り

\end{itemize}

したがって、目の和が8になる場合は $3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21$通りです。

(2) 目の積が10になる場合

$x \times y \times z = 10$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ を求めます。ただし、$1 \le x \le 6$, $1 \le y \le 6$, $1 \le z \le 6$ です。

10を素因数分解すると $10 = 2 \times 5$ です。したがって、サイコロの出目は1, 2, 5の組み合わせになります。

(1, 2, 5)の順列：(1, 2, 5), (1, 5, 2), (2, 1, 5), (2, 5, 1), (5, 1, 2), (5, 2, 1) - 6通り

したがって、目の積が10になる場合は6通りです。

3. 最終的な答え

(1) 目の和が8になる場合：21通り

(2) 目の積が10になる場合：6通り

```