大小中3つのサイコロを投げたとき、以下のそれぞれの条件を満たす場合は何通りあるか。 (1) 目の和が8になる場合 (2) 目の積が10になる場合 (3) 目の大きさが、大中小の順に小さくなる場合

1. 問題の内容

大小中3つのサイコロを投げたとき、以下のそれぞれの条件を満たす場合は何通りあるか。

(1) 目の和が8になる場合

(2) 目の積が10になる場合

(3) 目の大きさが、大中小の順に小さくなる場合

2. 解き方の手順

(1) 目の和が8になる場合：

大、中、小の出目をそれぞれ$x, y, z$とすると、$x+y+z=8$となる整数の組を求める問題です。ただし、$1 \le x \le 6$, $1 \le y \le 6$, $1 \le z \le 6$を満たす必要があります。

考えられる組み合わせをすべて列挙します。

(2,1,5), (2,2,4), (2,3,3), (2,4,2), (2,5,1)

(3,1,4), (3,2,3), (3,3,2), (3,4,1)

(4,1,3), (4,2,2), (4,3,1)

(5,1,2), (5,2,1)

(6,1,1)

これらの組み合わせはすべて条件を満たしています。

よって、全部で15通りです。

(2) 目の積が10になる場合：

$x \times y \times z=10$となる整数の組を求める問題です。

10を素因数分解すると、$10=2 \times 5$です。

よって、$x, y, z$のうち一つが2、一つが5、一つが1である必要があります。

これらを並び替える順列を考えればよいので、$3!=3 \times 2 \times 1=6$通りです。

組み合わせは (1,2,5), (1,5,2), (2,1,5), (2,5,1), (5,1,2), (5,2,1) の6通りです。

(3) 目の大きさが、大中小の順に小さくなる場合：

$x \ge y \ge z$となる整数の組を求める問題です。

$1 \le x \le 6$, $1 \le y \le 6$, $1 \le z \le 6$を満たす必要があります。

考えられる組み合わせをすべて列挙します。

(6,6,6), (6,6,5), (6,6,4), (6,6,3), (6,6,2), (6,6,1)

(6,5,5), (6,5,4), (6,5,3), (6,5,2), (6,5,1)

(6,4,4), (6,4,3), (6,4,2), (6,4,1)

(6,3,3), (6,3,2), (6,3,1)

(6,2,2), (6,2,1)

(6,1,1)

(5,5,5), (5,5,4), (5,5,3), (5,5,2), (5,5,1)

(5,4,4), (5,4,3), (5,4,2), (5,4,1)

(5,3,3), (5,3,2), (5,3,1)

(5,2,2), (5,2,1)

(5,1,1)

(4,4,4), (4,4,3), (4,4,2), (4,4,1)

(4,3,3), (4,3,2), (4,3,1)

(4,2,2), (4,2,1)

(4,1,1)

(3,3,3), (3,3,2), (3,3,1)

(3,2,2), (3,2,1)

(3,1,1)

(2,2,2), (2,2,1)

(2,1,1)

(1,1,1)

これらの組み合わせを数え上げると、全部で56通りです。

重複組み合わせの問題として解くことも可能です。

$x \ge y \ge z$は$x \gt y-1 \gt z-2$と書き換えられます.

$x' = x, y'=y-1, z'=z-2$とすれば$x' \gt y' \gt z'$

$x+y+z=n$をみたす組み合わせは${n+r-1 \choose r-1}$

$x \ge y \ge z$をみたす整数は${n+r-1 \choose r-1}$

3. 最終的な答え

(1) 15通り

(2) 6通り

(3) 56通り