500円硬貨1枚と100円硬貨3枚を同時に投げるとき、表の出た硬貨の金額の和の期待値と分散を求めます。

1. 問題の内容

500円硬貨1枚と100円硬貨3枚を同時に投げるとき、表の出た硬貨の金額の和の期待値と分散を求めます。

2. 解き方の手順

まず、500円硬貨と100円硬貨について、それぞれ表が出る確率と裏が出る確率を考えます。

硬貨を投げたとき、表が出る確率も裏が出る確率も $1/2$ とします。

500円硬貨の表を $H_5$ 、裏を $T_5$ とします。100円硬貨の表を $H_1$ 、裏を $T_1$ とします。

Xを500円硬貨の金額、Yを100円硬貨の金額の合計とすると、金額の合計Z = X + Yとなります。

Xの期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を計算します。

$E(X) = 500 \cdot P(H_5) + 0 \cdot P(T_5) = 500 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} = 250$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

$E(X^2) = 500^2 \cdot P(H_5) + 0^2 \cdot P(T_5) = 250000 \cdot \frac{1}{2} + 0 = 125000$

$V(X) = 125000 - 250^2 = 125000 - 62500 = 62500$

Yの期待値 $E(Y)$ と分散 $V(Y)$ を計算します。

Yは100円硬貨3枚の金額の合計なので、それぞれの硬貨の期待値と分散を計算し、それらを合計します。

1枚の100円硬貨の期待値 $e$ と分散 $v$ は、

$e = 100 \cdot P(H_1) + 0 \cdot P(T_1) = 100 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} = 50$

$E(100^2) = 100^2 \cdot P(H_1) + 0^2 \cdot P(T_1) = 10000 \cdot \frac{1}{2} = 5000$

$v = E(100^2) - (E(100))^2 = 5000 - 50^2 = 5000 - 2500 = 2500$

3枚の100円硬貨の期待値の合計は $E(Y) = 3e = 3 \cdot 50 = 150$

3枚の100円硬貨の分散の合計は $V(Y) = 3v = 3 \cdot 2500 = 7500$

金額の合計Z = X + Yなので、

$E(Z) = E(X) + E(Y) = 250 + 150 = 400$

$V(Z) = V(X) + V(Y) = 62500 + 7500 = 70000$

3. 最終的な答え

期待値：400円

分散：70000