与えられた2つの和を計算する問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$ (2) $\sum_{k=1}^{n-1} 3^{k}$

1. 問題の内容

与えられた2つの和を計算する問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$

(2) $\sum_{k=1}^{n-1} 3^{k}$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$ は、初項が $5^{1-1}=5^0=1$、公比が $5$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和です。等比数列の和の公式を使って計算します。

等比数列の和の公式は、

$S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ です。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数です。

この場合、$a=1$、$r=5$ なので、

$S_n = \frac{1(5^n-1)}{5-1} = \frac{5^n-1}{4}$

(2) $\sum_{k=1}^{n-1} 3^{k}$ は、初項が $3^1=3$、公比が $3$ の等比数列の初項から第 $n-1$ 項までの和です。等比数列の和の公式を使って計算します。

この場合、$a=3$、$r=3$、$n$が $n-1$になるので、

$S_{n-1} = \frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1} = \frac{3(3^{n-1}-1)}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5^n-1}{4}$

(2) $\frac{3(3^{n-1}-1)}{2}$