問題は2つあります。 問題5: 1から100までの整数について、以下の数を求めます。 (1) 4の倍数の個数 (3) 4の倍数かつ5の倍数の個数 (2) 5で割り切れない数の個数 (4) 4の倍数でも5の倍数でもない数の個数 問題6: 60人の学生が数学と英語の試験を受けました。数学の合格者は30人、英語の合格者は50人で、両方とも不合格だった学生は8人でした。以下の人数を求めます。 (1) 数学または英語に合格した人の人数 (2) 数学と英語の両方に合格した人の人数 (3) 数学だけ合格した人の人数 (4) 英語だけ合格した人の人数

1. 問題の内容

問題は2つあります。

問題5: 1から100までの整数について、以下の数を求めます。

(1) 4の倍数の個数

(3) 4の倍数かつ5の倍数の個数

(2) 5で割り切れない数の個数

(4) 4の倍数でも5の倍数でもない数の個数

問題6: 60人の学生が数学と英語の試験を受けました。数学の合格者は30人、英語の合格者は50人で、両方とも不合格だった学生は8人でした。以下の人数を求めます。

(1) 数学または英語に合格した人の人数

(2) 数学と英語の両方に合格した人の人数

(3) 数学だけ合格した人の人数

(4) 英語だけ合格した人の人数

2. 解き方の手順

問題5：

(1) 1から100までの4の倍数の個数は、$100 \div 4 = 25$で、25個です。

(3) 4の倍数かつ5の倍数は、20の倍数です。1から100までの20の倍数の個数は、$100 \div 20 = 5$で、5個です。

(2) 1から100までの5の倍数の個数は、$100 \div 5 = 20$個です。

5で割り切れない数の個数は、$100 - 20 = 80$個です。

(4) 4の倍数でも5の倍数でもない数の個数を求めるには、まず4の倍数または5の倍数である数を求めます。

4の倍数または5の倍数である数は、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$で計算できます。

ここで、$n(A)$は4の倍数の個数、$n(B)$は5の倍数の個数、$n(A \cap B)$は4の倍数かつ5の倍数の個数です。

よって、$n(A \cup B) = 25 + 20 - 5 = 40$です。

4の倍数でも5の倍数でもない数の個数は、$100 - n(A \cup B) = 100 - 40 = 60$個です。

問題6：

$U$を生徒全体の集合、$A$を数学に合格した生徒の集合、$B$を英語に合格した生徒の集合とします。

$n(U) = 60$、$n(A) = 30$、$n(B) = 50$、$n(\overline{A \cup B}) = 8$です。

(1) 数学または英語に合格した人の人数は、$n(A \cup B)$です。

$n(A \cup B) = n(U) - n(\overline{A \cup B}) = 60 - 8 = 52$人です。

(2) 数学と英語の両方に合格した人の人数は、$n(A \cap B)$です。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$より、$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B)$です。

$n(A \cap B) = 30 + 50 - 52 = 28$人です。

(3) 数学だけ合格した人の人数は、$n(A) - n(A \cap B) = 30 - 28 = 2$人です。

(4) 英語だけ合格した人の人数は、$n(B) - n(A \cap B) = 50 - 28 = 22$人です。

3. 最終的な答え

問題5：

(1) 25個

(3) 5個

(2) 80個

(4) 60個

問題6：

(1) 52人

(2) 28人

(3) 2人

(4) 22人