3つの正の数 $a, b, c$ の平均値が14、標準偏差が8であるとき、$a^2 + b^2 + c^2$ と $ab + bc + ca$ の値を求める。

1. 問題の内容

3つの正の数 $a, b, c$ の平均値が14、標準偏差が8であるとき、$a^2 + b^2 + c^2$ と $ab + bc + ca$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、平均値が14であることから、

$\frac{a+b+c}{3} = 14$

したがって、

$a+b+c = 42$

次に、標準偏差が8であることから、分散は $8^2 = 64$ である。

分散の公式は、

$\frac{(a-14)^2 + (b-14)^2 + (c-14)^2}{3} = 64$

$(a-14)^2 + (b-14)^2 + (c-14)^2 = 192$

展開すると、

$a^2 - 28a + 196 + b^2 - 28b + 196 + c^2 - 28c + 196 = 192$

$a^2 + b^2 + c^2 - 28(a+b+c) + 588 = 192$

$a^2 + b^2 + c^2 - 28(42) + 588 = 192$

$a^2 + b^2 + c^2 - 1176 + 588 = 192$

$a^2 + b^2 + c^2 = 192 + 1176 - 588$

$a^2 + b^2 + c^2 = 780$

次に、

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca)$

$42^2 = 780 + 2(ab+bc+ca)$

$1764 = 780 + 2(ab+bc+ca)$

$2(ab+bc+ca) = 1764 - 780$

$2(ab+bc+ca) = 984$

$ab+bc+ca = 492$

3. 最終的な答え

$a^2 + b^2 + c^2 = 780$

$ab + bc + ca = 492$