P, Q, Rの3人でみかんとりんごを合わせて14個分けた。Qがもらったみかんの数はPの2倍、Rがもらったみかんの数はQの2倍である。また、Pがもらったリンゴの数はRの5倍である。このとき、Rがもらったみかんとりんごの合計の個数を求める。

1. 問題の内容

P, Q, Rの3人でみかんとりんごを合わせて14個分けた。Qがもらったみかんの数はPの2倍、Rがもらったみかんの数はQの2倍である。また、Pがもらったリンゴの数はRの5倍である。このとき、Rがもらったみかんとりんごの合計の個数を求める。

2. 解き方の手順

まず、P, Q, Rがもらったみかんの数をそれぞれ $p$, $q$, $r$ とし、リンゴの数をそれぞれ $P'$, $Q'$, $R'$ とします。

問題文より以下のことがわかります。

* $p + q + r + P' + Q' + R' = 14$

* $q = 2p$

* $r = 2q = 4p$

* $P' = 5R'$

これらの式を使って、Rがもらったみかんとりんごの合計 $r + R'$ を求めます。

まず、みかんの合計は $p + q + r = p + 2p + 4p = 7p$ です。

また、リンゴの合計は $P' + Q' + R' = 5R' + Q' + R' = 6R' + Q'$ です。

したがって、$7p + 6R' + Q' = 14$ となります。

ここで、$Q'$ が整数である必要があることに注意すると、$Q'$ がありうる整数値と、それに対応する $p$ と $R'$ の値を検討します。

* $Q'=0$ のとき、$7p + 6R' = 14$ となります。$p$ と $R'$ は整数なので、$(p, R')=(2,0)$ と $(p, R')=(0, \frac{7}{3})$ が解となります。$R'$ は整数なので、$(p, R') = (2,0)$ のみが解です。

* $Q'=1$ のとき、$7p + 6R' = 13$ となります。$p$ と $R'$ は整数なので、$(p, R')=(1,1)$ が解となります。

* $Q'=2$ のとき、$7p + 6R' = 12$ となります。$p$ と $R'$ は整数なので、$(p, R')=(0, 2)$ が解となります。

...

$p=2, R'=0$ のとき、$q = 2p = 4$, $r = 4p = 8$, $P'=0$。したがって、$p+q+r+P'+Q'+R' = 2+4+8+0+Q'+0 = 14+Q' = 14$ なので、$Q'=0$ です。このとき、$r + R' = 8 + 0 = 8$ です。

$p=1, R'=1$ のとき、$q = 2p = 2$, $r = 4p = 4$, $P'=5$。したがって、$p+q+r+P'+Q'+R' = 1+2+4+5+Q'+1 = 13+Q'=14$ なので、$Q'=1$ です。このとき、$r + R' = 4 + 1 = 5$ です。

$p=0, R'=2$ のとき、$q = 2p = 0$, $r = 4p = 0$, $P'=10$。したがって、$p+q+r+P'+Q'+R' = 0+0+0+10+Q'+2 = 12+Q'=14$ なので、$Q'=2$ です。このとき、$r + R' = 0 + 2 = 2$ です。

もしみかんとりんごがそれぞれ少なくとも1つはあるとすると、$p, q, r, P', Q', R' > 0$である必要があります。

ここで、$R'=0$のとき、Rはリンゴをもらっていないため、題意を満たしません。

$R'=1$のとき、$r+R'=5$

$R'=2$のとき、$r+R'=2$

このとき、合計14個であるという条件を満たす組み合わせを探します。

Rがもらったみかんとりんごの合計が5個の場合、Rはみかんを4個、リンゴを1個もらっています。

Pはみかんを1個、リンゴを5個もらっています。Qはみかんを2個、リンゴを1個もらっています。

合計すると、みかんは1+2+4=7個、リンゴは5+1+1=7個で、合計14個となります。

3. 最終的な答え

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