## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた2つの問題を解きます。

(2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{3}-1}$ を計算する。

(3) $\sqrt{(2-\sqrt{3})^2} + \sqrt{(3-2\sqrt{3})^2}$ を計算する。

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2. 解き方の手順

### (2) の手順

それぞれの分数の分母を有理化します。

* $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{2-1} = \sqrt{6} + \sqrt{3}$

* $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6}-2}{3-2} = \sqrt{6} - 2$

* $\frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3} + 1$

これらの結果を元の式に代入します。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{3}-1} = (\sqrt{6}+\sqrt{3}) - (\sqrt{6}-2) - (\sqrt{3}+1)$

$= \sqrt{6} + \sqrt{3} - \sqrt{6} + 2 - \sqrt{3} - 1$

$= (\sqrt{6}-\sqrt{6})+(\sqrt{3}-\sqrt{3}) + (2-1)$

$= 1$

### (3) の手順

$\sqrt{x^2} = |x|$ を利用して計算します。

* $2-\sqrt{3} > 0$ であるので、$\sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = |2-\sqrt{3}| = 2-\sqrt{3}$

* $3-2\sqrt{3} < 0$ であるので、$\sqrt{(3-2\sqrt{3})^2} = |3-2\sqrt{3}| = -(3-2\sqrt{3}) = -3+2\sqrt{3}$

これらの結果を元の式に代入します。

$\sqrt{(2-\sqrt{3})^2} + \sqrt{(3-2\sqrt{3})^2} = (2-\sqrt{3}) + (-3+2\sqrt{3})$

$= (2-3) + (-\sqrt{3}+2\sqrt{3})$

$= -1 + \sqrt{3}$

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3. 最終的な答え

(2) の答え: 1

(3) の答え: $\sqrt{3}-1$