36や264のように、各位の数の和が3の倍数である正の整数は3の倍数である。このことが成り立つわけを3桁の正の整数について説明せよ。

## 問題1

1. 問題の内容

36や264のように、各位の数の和が3の倍数である正の整数は3の倍数である。このことが成り立つわけを3桁の正の整数について説明せよ。

2. 解き方の手順

3桁の正の整数を $abc$ とおく。$a, b, c$ はそれぞれ百の位、十の位、一の位の数字を表し、$a$ は1から9の整数、$b, c$ は0から9の整数である。

この整数は $100a + 10b + c$ と表せる。

各位の数の和が3の倍数であるとき、$a + b + c = 3k$ （$k$ は整数）と表せる。

$100a + 10b + c = (99a + a) + (9b + b) + c = 99a + 9b + (a + b + c)$

$= 9(11a + b) + (a + b + c) = 9(11a + b) + 3k$

$9(11a + b)$ は9の倍数なので3の倍数であり、$3k$ は3の倍数である。

したがって、$100a + 10b + c$ は3の倍数である。

3. 最終的な答え

3桁の正の整数を $abc$ とすると、$abc = 100a + 10b + c$ と表せる。

各位の数の和が3の倍数であるとき、$a + b + c = 3k$ （$k$ は整数）と表せる。

$100a + 10b + c = 9(11a + b) + (a + b + c) = 9(11a + b) + 3k$ となる。

$9(11a + b)$ は3の倍数、$3k$ も3の倍数なので、$100a + 10b + c$ は3の倍数である。

したがって、各位の数の和が3の倍数である3桁の正の整数は3の倍数である。

## 問題2

1. 問題の内容

4桁の自然数と、その自然数の上から2桁の数と下から2桁の数を入れかえた自然数との差は99の倍数である。このわけを説明せよ。

2. 解き方の手順

4桁の自然数を $abcd$ とおく。$a, b, c, d$ はそれぞれ千の位、百の位、十の位、一の位の数字を表し、$a$ は1から9の整数、$b, c, d$ は0から9の整数である。

この整数は $1000a + 100b + 10c + d$ と表せる。

上2桁と下2桁を入れ替えた自然数は $1000c + 100d + 10a + b$ と表せる。

これらの差を計算する。

$(1000a + 100b + 10c + d) - (1000c + 100d + 10a + b) = 990a + 99b - 990c - 99d$

$= 99(10a + b - 10c - d) = 99(10a + b) - 99(10c + d)$

3. 最終的な答え

4桁の自然数を $abcd$ とすると、$abcd = 1000a + 100b + 10c + d$ と表せる。

上2桁と下2桁を入れ替えた自然数は $cdab = 1000c + 100d + 10a + b$ と表せる。

これらの差は $(1000a + 100b + 10c + d) - (1000c + 100d + 10a + b) = 990a + 99b - 990c - 99d = 99(10a + b - 10c - d)$ となる。

$99(10a + b - 10c - d)$ は99の倍数である。

したがって、4桁の自然数と、その自然数の上から2桁の数と下から2桁の数を入れかえた自然数との差は99の倍数である。