小球が自由落下する問題です。重力加速度を $g$ [m/s$^2$]とし、以下の問いに答えます。 (1) 小球が $h$ [m] を落下するのに要する時間はいくらか。 (2) 小球が前半の $\frac{h}{2}$ [m] を落下するのに要する時間はいくらか。 (3) 小球が後半の $\frac{h}{2}$ [m] を落下するのに要する時間はいくらか。

1. 問題の内容

小球が自由落下する問題です。重力加速度を $g$ [m/s$^2$]とし、以下の問いに答えます。

(1) 小球が $h$ [m] を落下するのに要する時間はいくらか。

(2) 小球が前半の $\frac{h}{2}$ [m] を落下するのに要する時間はいくらか。

(3) 小球が後半の $\frac{h}{2}$ [m] を落下するのに要する時間はいくらか。

2. 解き方の手順

自由落下の公式を使います。

落下距離を $y$ [m]、時間を $t$ [s]とすると、

$y = \frac{1}{2}gt^2$

となります。これより、時間 $t$ は、

$t = \sqrt{\frac{2y}{g}}$

で表されます。

(1) $h$ [m] 落下する時間 $t_1$ は、

$t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

(2) $\frac{h}{2}$ [m] 落下する時間 $t_2$ は、

$t_2 = \sqrt{\frac{2(\frac{h}{2})}{g}} = \sqrt{\frac{h}{g}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\frac{2h}{g}}$

(3) 後半$\frac{h}{2}$ [m]を落下する時間は、$h$ [m]落下する時間から、前半$\frac{h}{2}$ [m]を落下する時間を引けば求まります。

後半$\frac{h}{2}$ [m]を落下する時間 $t_3$ は、

$t_3 = t_1 - t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}} - \sqrt{\frac{h}{g}} = \sqrt{\frac{2h}{g}} - \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\frac{2h}{g}} = (1 - \frac{\sqrt{2}}{2})\sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}\sqrt{\frac{2h}{g}}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{\frac{2h}{g}}$

(2) $\sqrt{\frac{h}{g}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\frac{2h}{g}}$

(3) $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}\sqrt{\frac{2h}{g}}$