問題は、与えられた外力 $F$ に対する振動系の応答を考察するものです。 具体的には、以下の2つのケースについて議論しています。 (1) 外力が2つのコサイン波の重ね合わせの場合： $F = f_1 \cos(w_1 t) + f_2 \cos(w_2 t)$ ($w_1 \neq w_2$) このとき、固有振動数 $\Omega = \sqrt{k/m}$ (ただし、$k$はばね定数、$m$は質量) が、それぞれの外力の振動数 $w_1, w_2$ と一致する場合と一致しない場合を考えます。 (i) $\Omega \neq w_1$ かつ $\Omega \neq w_2$ のとき (ii) $\Omega = w_1$ かつ $\Omega \neq w_2$ のとき (2) 外力がサイン波の場合： $F = f \sin(wt)$ このときも、固有振動数 $\Omega$ が外力の振動数 $w$ と一致する場合と一致しない場合を考えます。 (i) $\Omega \neq w$ のとき (ii) $\Omega = w$ のとき これらの条件のもとで、振動系の応答（特に振幅）がどのように変化するかを考察することが考えられます。問題文には具体的な計算や解法は書かれていませんが、おそらくこれらの条件から導かれる解の形や特徴について問われているのだと思われます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた外力 $F$ に対する振動系の応答を考察するものです。 具体的には、以下の2つのケースについて議論しています。

(1) 外力が2つのコサイン波の重ね合わせの場合：

$F = f_1 \cos(w_1 t) + f_2 \cos(w_2 t)$ ($w_1 \neq w_2$)

このとき、固有振動数 $\Omega = \sqrt{k/m}$ (ただし、$k$はばね定数、$m$は質量) が、それぞれの外力の振動数 $w_1, w_2$ と一致する場合と一致しない場合を考えます。

(i) $\Omega \neq w_1$ かつ $\Omega \neq w_2$ のとき

(ii) $\Omega = w_1$ かつ $\Omega \neq w_2$ のとき

(2) 外力がサイン波の場合：

$F = f \sin(wt)$

このときも、固有振動数 $\Omega$ が外力の振動数 $w$ と一致する場合と一致しない場合を考えます。

(i) $\Omega \neq w$ のとき

(ii) $\Omega = w$ のとき

これらの条件のもとで、振動系の応答（特に振幅）がどのように変化するかを考察することが考えられます。問題文には具体的な計算や解法は書かれていませんが、おそらくこれらの条件から導かれる解の形や特徴について問われているのだと思われます。

2. 解き方の手順

この問題は、具体的な計算問題ではありません。したがって、具体的な解き方の手順というよりは、それぞれのケースでどのような現象が起こりうるかを理解することが重要です。

(1) 外力が2つのコサイン波の重ね合わせの場合：

(i) $\Omega \neq w_1$ かつ $\Omega \neq w_2$ のとき：

この場合、強制振動の一般解は、$F$の各周波数成分に対応した振動の重ね合わせになります。振幅はそれぞれ、$f_1 / (m(\Omega^2 - w_1^2))$、$f_2 / (m(\Omega^2 - w_2^2))$ に比例します。

(ii) $\Omega = w_1$ かつ $\Omega \neq w_2$ のとき：

この場合、$w_1$の周波数成分で共振が起こり、振幅が時間とともに増大します。一方、$w_2$の周波数成分については、(i)と同様の強制振動が起こります。共振する周波数成分の解は、$t\sin(\Omega t)$ に比例する項を含みます。

(2) 外力がサイン波の場合：

(i) $\Omega \neq w$ のとき：

この場合、強制振動の一般解は、$x(t) = A\sin(wt)$ の形で与えられます。振幅 $A$ は、$A = f / (m(\Omega^2 - w^2))$ で与えられます。

(ii) $\Omega = w$ のとき：

この場合、共振が起こり、振幅が時間とともに増大します。解は、$t\cos(\Omega t)$ に比例する項を含みます。

3. 最終的な答え

問題文から具体的な数値を求めることはできません。しかし、上記の議論から、各ケースにおける振動の振る舞いを理解することができます。

(1) 外力 $F = f_1 \cos(w_1 t) + f_2 \cos(w_2 t)$ の場合：

(i) $\Omega \neq w_1$ かつ $\Omega \neq w_2$ のとき： 各周波数成分に対応した強制振動

(ii) $\Omega = w_1$ かつ $\Omega \neq w_2$ のとき： $w_1$の周波数成分で共振

(2) 外力 $F = f \sin(wt)$ の場合：

(i) $\Omega \neq w$ のとき： 強制振動

(ii) $\Omega = w$ のとき： 共振