条件 $x^2 + y^2 \leq 9$ および $x \geq 0$ のもとで、$z = -x + y$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

条件 $x^2 + y^2 \leq 9$ および $x \geq 0$ のもとで、$z = -x + y$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + y^2 \leq 9$ を満たす領域は、原点を中心とする半径3の円の内部と境界です。さらに、$x \geq 0$という条件が加わるので、この円の右半分（x軸を含む）が領域となります。

$z = -x + y$ より、$y = x + z$ となります。

これは傾き1、y切片zの直線を表します。

$x^2 + y^2 = 9$と$y=x+z$が接するとき、$x^2+(x+z)^2=9$

$x^2+x^2+2xz+z^2=9$

$2x^2+2xz+z^2-9=0$

判別式$D/4 = (z)^2 - 2(z^2-9) = z^2 - 2z^2 + 18 = -z^2+18=0$

$z^2 = 18$

$z = \pm 3\sqrt{2}$

$x^2 + y^2 \leq 9$ かつ $x \geq 0$ を満たす範囲で、$y = x + z$ が存在するためには、$z$の値に制限があります。

$x=0$のとき、$-3 \leq y \leq 3$

$y=x+z$だから、$-3 \leq z \leq 3$

$y = x + z$ が円 $x^2 + y^2 = 9$ と接するとき、$z = \pm 3\sqrt{2}$ です。

$x\geq 0$ の条件より、求める領域におけるzの最大値は$3\sqrt{2}$であり、最小値は-3です。

$z=3\sqrt{2}$ となるのは、$2x^2+2x(3\sqrt{2})+18-9=0$, $2x^2+6\sqrt{2}x+9=0$, $x^2+3\sqrt{2}x+\frac{9}{2}=0$, $(x+\frac{3\sqrt{2}}{2})^2=0$, $x=-\frac{3\sqrt{2}}{2}$のときです。

$y=x+z=-\frac{3\sqrt{2}}{2}+3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$x=-\frac{3\sqrt{2}}{2}$は、$x \geq 0$を満たさないため不適です。

$x=0$のとき、$y$が最大となるのは$y=3$のときであり、$z = -x + y = 0 + 3 = 3$

$x=3$のとき、$y$が最小となるのは$y=0$のときであり、$z = -x + y = -3 + 0 = -3$

$x=0$のとき、$y=-3$となることはない。

$x=0$のとき、$-3 \leq y \leq 3$

したがって、$z = -x + y$ の最大値は $z = 3$ (x=0, y=3)で、最小値は $z = -3$ (x=3, y=0)となります。

また、$y = x+z$ が円 $x^2+y^2 = 9$ に接するときを考えます。

$x^2 + (x+z)^2 = 9$

$2x^2 + 2xz + z^2 - 9 = 0$

この2次方程式が実数解を持つ条件は判別式 $D \geq 0$

$D/4 = z^2 - 2(z^2-9) = -z^2 + 18 \geq 0$

$z^2 \leq 18$

$-3\sqrt{2} \leq z \leq 3\sqrt{2}$

$x \geq 0$ より、最大値は $z = 3\sqrt{2}$ ($\approx 4.24$)、最小値は $z = -3$ です。

3. 最終的な答え

最大値：$3\sqrt{2}$

最小値：$-3$