与えられたRLC回路において、キルヒホッフの法則から導かれる電荷 $Q(t)$ に関する微分方程式（式(4)）を元に、以下の問題を解く。 1. 電流の定義を用いて、$Q$ に関する微分方程式（式(5)）を導出する。

1. 問題の内容

与えられたRLC回路において、キルヒホッフの法則から導かれる電荷 $Q(t)$ に関する微分方程式（式(4)）を元に、以下の問題を解く。

1. 電流の定義を用いて、$Q$ に関する微分方程式（式(5)）を導出する。

2. 式(5)の斉次方程式が減衰振動する$R, L, C$の条件を求める。

3. 交流電源の場合に特殊解 $Q_p$ が式(6)のように書けることを示す。

4. 特殊解の振幅を振動数 $\Omega$ の関数としてグラフの概形を描き、振幅が極大値を持つ $\Omega$ を求める。

2. 解き方の手順

1. 式(4) $L\frac{dI}{dt} + RI + \frac{Q}{C} = V(t)$ において、$I(t) = \frac{dQ(t)}{dt}$ より、$\frac{dI}{dt} = \frac{d^2Q(t)}{dt^2}$ である。したがって、

$L\frac{d^2Q}{dt^2} + R\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} = V(t)$

両辺を$L$で割ると、

$\frac{d^2Q}{dt^2} + \frac{R}{L}\frac{dQ}{dt} + \frac{1}{LC}Q = \frac{V(t)}{L}$

ここで、$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , $2\gamma = \frac{R}{L}$ とおくと、

$\frac{d^2Q}{dt^2} + 2\gamma\frac{dQ}{dt} + \omega^2Q = \frac{V(t)}{L}$

これは $Q'' + 2\gamma Q' + \omega^2Q = V(t)/L$ と書き換えられる。

2. 式(5)の斉次方程式は $Q'' + 2\gamma Q' + \omega^2 Q = 0$ である。この特性方程式は $r^2 + 2\gamma r + \omega^2 = 0$ となり、解は $r = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega^2}$ である。減衰振動するためには、$\gamma^2 < \omega^2$ が必要となる。すなわち、$(\frac{R}{2L})^2 < (\frac{1}{\sqrt{LC}})^2$ より、$R^2 < \frac{4L}{C}$ が条件となる。

3. $V(t) = V_0 \cos(\Omega t)$ のとき、式(5)は $Q'' + 2\gamma Q' + \omega^2 Q = \frac{V_0}{L}\cos(\Omega t)$ となる。

$Q_p(t) = Ae^{i\Omega t}$ とおくと、 $Q'_p(t) = i\Omega Ae^{i\Omega t}$, $Q''_p(t) = -\Omega^2 Ae^{i\Omega t}$ となる。

したがって、$-\Omega^2A + 2i\gamma\Omega A + \omega^2 A = \frac{V_0}{L}$

$A(\omega^2 - \Omega^2 + 2i\gamma\Omega) = \frac{V_0}{L}$

$A = \frac{V_0/L}{\omega^2 - \Omega^2 + 2i\gamma\Omega}$

$Q_p(t)$の実部を取ると、

$Q_p(t) = a\cos(\Omega t - \alpha)$

ただし、$a = \frac{V_0/L}{\sqrt{(\omega^2 - \Omega^2)^2 + (2\gamma\Omega)^2}}$ , $\alpha = \tan^{-1}(\frac{2\gamma\Omega}{\omega^2 - \Omega^2})$

4. 振幅 $a = \frac{V_0/L}{\sqrt{(\omega^2 - \Omega^2)^2 + (2\gamma\Omega)^2}}$ を $\Omega$ の関数として考える。

$\Omega \rightarrow 0$ のとき、$a \rightarrow \frac{V_0/L}{\omega^2} = \frac{V_0}{L}LC = V_0C$ となる。

$\Omega \rightarrow \infty$ のとき、$a \rightarrow 0$ となる。

振幅が極大値を持つ条件は、分母が最小となる時である。分母の二乗を $f(\Omega)$ とおくと、$f(\Omega) = (\omega^2 - \Omega^2)^2 + 4\gamma^2\Omega^2$ である。

$\frac{df}{d\Omega} = 2(\omega^2 - \Omega^2)(-2\Omega) + 8\gamma^2\Omega = 0$ より、

$-4\Omega(\omega^2 - \Omega^2) + 8\gamma^2\Omega = 0$

$\Omega \ne 0$ より、 $-4(\omega^2 - \Omega^2) + 8\gamma^2 = 0$

$\Omega^2 = \omega^2 - 2\gamma^2$

$\Omega = \sqrt{\omega^2 - 2\gamma^2}$

$\Omega = \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{2L^2}}$

ただし、$\omega^2 > 2\gamma^2$ 、つまり $\frac{1}{LC} > \frac{R^2}{2L^2}$ を満たす必要がある。

3. 最終的な答え

1. $Q'' + 2\gamma Q' + \omega^2Q = V(t)/L$

2. $R^2 < \frac{4L}{C}$

3. $Q_p(t) = a\cos(\Omega t - \alpha)$, $a = \frac{V_0/L}{\sqrt{(\omega^2 - \Omega^2)^2 + 4\gamma^2\Omega^2}}$ , $\alpha = \tan^{-1}(\frac{2\gamma\Omega}{\omega^2 - \Omega^2})$

4. $\Omega = \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{2L^2}}$, 条件: $\frac{1}{LC} > \frac{R^2}{2L^2}$