高さ39.2mのビルの屋上から、小球を初速度9.8m/sで鉛直下向きに投げ下ろした。重力加速度の大きさを9.8m/s$^2$として、以下の問いに答える。 (1) 小球が地面に達するのは何s後か。 (2) 小球が地面に達する直前の速さを求めよ。 (3) 小球がビルの中央を通過するときの速さを求めよ。

1. 問題の内容

高さ39.2mのビルの屋上から、小球を初速度9.8m/sで鉛直下向きに投げ下ろした。重力加速度の大きさを9.8m/s$^2$として、以下の問いに答える。

(1) 小球が地面に達するのは何s後か。

(2) 小球が地面に達する直前の速さを求めよ。

(3) 小球がビルの中央を通過するときの速さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 小球が地面に達するまでの時間

鉛直下向きを正とする。等加速度運動の公式 $y = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$ を用いる。

ここで、$y = 39.2$m, $v_0 = 9.8$m/s, $g = 9.8$m/s$^2$である。

$39.2 = 9.8t + \frac{1}{2} \times 9.8t^2$

$39.2 = 9.8t + 4.9t^2$

$4.9t^2 + 9.8t - 39.2 = 0$

$t^2 + 2t - 8 = 0$

$(t+4)(t-2) = 0$

$t = -4, 2$

時間の値は正なので、$t=2$ s。

(2) 小球が地面に達する直前の速さ

等加速度運動の公式 $v = v_0 + gt$ を用いる。

$v = 9.8 + 9.8 \times 2$

$v = 9.8 + 19.6$

$v = 29.4$ m/s

(3) 小球がビルの中央を通過するときの速さ

ビルの高さは39.2mなので、中央は19.6m。等加速度運動の公式 $v^2 - v_0^2 = 2gy$ を用いる。

$v^2 - 9.8^2 = 2 \times 9.8 \times 19.6$

$v^2 = 9.8^2 + 2 \times 9.8 \times 19.6$

$v^2 = 9.8^2 + 4 \times 9.8^2 = 5 \times 9.8^2$

$v = \sqrt{5 \times 9.8^2} = 9.8\sqrt{5}$

$v \approx 9.8 \times 2.236$

$v \approx 21.9$ m/s

3. 最終的な答え

(1) 2 s

(2) 29.4 m/s

(3) 21.9 m/s