与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、和の各項の分母を有理化します。つまり、$\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$ に $\frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} \cdot \frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{k-(k+1)} = \frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{-1} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k}$

したがって、与えられた和は次のように書き換えられます。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1}-\sqrt{k})$

この和は望遠鏡和(telescoping sum)です。つまり、隣り合う項同士が打ち消し合うようにできています。

具体的に書き下すと、次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) = (\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$

この和では、$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \dots, \sqrt{n}$が打ち消し合い、残るのは$-\sqrt{1}$と$\sqrt{n+1}$だけです。

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) = \sqrt{n+1} - \sqrt{1} = \sqrt{n+1} - 1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{n+1} - 1$