1から100までの整数の中で、以下の条件を満たす数がそれぞれ何個あるかを求める問題です。 (1) 6で割り切れる数 (2) 4と6の少なくとも一方で割り切れる数 (3) 4でも6でも割り切れない数 (4) 4, 5, 6の少なくとも1つで割り切れる数

1. 問題の内容

1から100までの整数の中で、以下の条件を満たす数がそれぞれ何個あるかを求める問題です。

(1) 6で割り切れる数

(2) 4と6の少なくとも一方で割り切れる数

(3) 4でも6でも割り切れない数

(4) 4, 5, 6の少なくとも1つで割り切れる数

2. 解き方の手順

(1) 6で割り切れる数

100 ÷ 6 = 16 あまり 4

したがって、6で割り切れる数は16個です。

(2) 4と6の少なくとも一方で割り切れる数

4で割り切れる数は 100 ÷ 4 = 25 個

6で割り切れる数は 100 ÷ 6 = 16 個

4と6の公倍数、つまり12で割り切れる数は 100 ÷ 12 = 8 あまり 4 なので、8個

4で割り切れる数と6で割り切れる数の和から、12で割り切れる数を引けばよい。

25 + 16 - 8 = 33

(3) 4でも6でも割り切れない数

全体(100)から(2)の答えを引けばよい。

100 - 33 = 67

(4) 4, 5, 6の少なくとも1つで割り切れる数

4で割り切れる数は 100 ÷ 4 = 25 個

5で割り切れる数は 100 ÷ 5 = 20 個

6で割り切れる数は 100 ÷ 6 = 16 個

4と5の公倍数、つまり20で割り切れる数は 100 ÷ 20 = 5 個

5と6の公倍数、つまり30で割り切れる数は 100 ÷ 30 = 3 あまり 10 なので、3個

4と6の公倍数、つまり12で割り切れる数は 100 ÷ 12 = 8 あまり 4 なので、8個

4と5と6の公倍数、つまり60で割り切れる数は 100 ÷ 60 = 1 あまり 40 なので、1個

包含と排除の原理を使う。

$A = \{x | 4 \text{で割り切れる}\}$

$B = \{x | 5 \text{で割り切れる}\}$

$C = \{x | 6 \text{で割り切れる}\}$

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |B \cap C| + |C \cap A|) + |A \cap B \cap C|$

$|A \cup B \cup C| = 25 + 20 + 16 - (5 + 3 + 8) + 1 = 61 - 16 + 1 = 46$

3. 最終的な答え

(1) 16個

(2) 33個

(3) 67個

(4) 46個