与えられた6つの式をそれぞれ簡単にします。 (1) $\sqrt[4]{27\sqrt[4]{3}}$ (2) $\frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{3}}$ (3) $(\sqrt[3]{6})^2 \sqrt[3]{48}$ (4) $\frac{(\sqrt[4]{54})^3}{\sqrt[4]{24}}$ (5) $\frac{\sqrt[3]{147}\sqrt[3]{63}}{7}$ (6) $\sqrt[3]{0.005}\sqrt[3]{0.025}$

1. 問題の内容

与えられた6つの式をそれぞれ簡単にします。

(1) $\sqrt[4]{27\sqrt[4]{3}}$

(2) $\frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{3}}$

(3) $(\sqrt[3]{6})^2 \sqrt[3]{48}$

(4) $\frac{(\sqrt[4]{54})^3}{\sqrt[4]{24}}$

(5) $\frac{\sqrt[3]{147}\sqrt[3]{63}}{7}$

(6) $\sqrt[3]{0.005}\sqrt[3]{0.025}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt[4]{27\sqrt[4]{3}}$

まず、内側の$\sqrt[4]{3}$を$3^{1/4}$と書き換えます。

すると、$27\sqrt[4]{3} = 3^3 \cdot 3^{1/4} = 3^{3 + 1/4} = 3^{13/4}$となります。

したがって、$\sqrt[4]{27\sqrt[4]{3}} = \sqrt[4]{3^{13/4}} = (3^{13/4})^{1/4} = 3^{13/16}$。

(2) $\frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{3}}$

$\sqrt[3]{\frac{24}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$。

(3) $(\sqrt[3]{6})^2 \sqrt[3]{48}$

$(\sqrt[3]{6})^2 \sqrt[3]{48} = \sqrt[3]{6^2} \sqrt[3]{48} = \sqrt[3]{36 \cdot 48} = \sqrt[3]{36 \cdot 12 \cdot 4} = \sqrt[3]{36 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4} = \sqrt[3]{432\cdot4} = \sqrt[3]{1728} = \sqrt[3]{12^3} = 12$。

もしくは、$\sqrt[3]{6^2} \sqrt[3]{48} = \sqrt[3]{6^2 \cdot 48} = \sqrt[3]{36 \cdot 48} = \sqrt[3]{36 \cdot 6 \cdot 8} = \sqrt[3]{6^3 \cdot 8} = 6 \sqrt[3]{8} = 6 \cdot 2 = 12$

(4) $\frac{(\sqrt[4]{54})^3}{\sqrt[4]{24}}$

$\frac{(\sqrt[4]{54})^3}{\sqrt[4]{24}} = \sqrt[4]{\frac{54^3}{24}} = \sqrt[4]{\frac{(2 \cdot 3^3)^3}{2^3 \cdot 3}} = \sqrt[4]{\frac{2^3 \cdot 3^9}{2^3 \cdot 3}} = \sqrt[4]{3^8} = 3^2 = 9$。

(5) $\frac{\sqrt[3]{147}\sqrt[3]{63}}{7}$

$\frac{\sqrt[3]{147}\sqrt[3]{63}}{7} = \frac{\sqrt[3]{147 \cdot 63}}{7} = \frac{\sqrt[3]{(49 \cdot 3) \cdot (9 \cdot 7)}}{7} = \frac{\sqrt[3]{7^2 \cdot 3 \cdot 3^2 \cdot 7}}{7} = \frac{\sqrt[3]{7^3 \cdot 3^3}}{7} = \frac{7 \cdot 3}{7} = 3$。

(6) $\sqrt[3]{0.005}\sqrt[3]{0.025}$

$\sqrt[3]{0.005}\sqrt[3]{0.025} = \sqrt[3]{0.005 \cdot 0.025} = \sqrt[3]{0.000125} = \sqrt[3]{\frac{125}{1000000}} = \sqrt[3]{\frac{5^3}{(100)^3}} = \frac{5}{100} = 0.05$。

3. 最終的な答え

(1) $3^{13/16}$

(2) $2$

(3) $12$

(4) $9$

(5) $3$

(6) $0.05$