$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ を計算し、分母を有理化してください。

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ を計算し、分母を有理化してください。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数である $(\sqrt{5}+\sqrt{2})$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}$

分子を展開します:

$(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}$

分母を展開します:

$(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

したがって、

$\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \frac{7 + 2\sqrt{10}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{7 + 2\sqrt{10}}{3}$