1から200までの整数について、以下の個数を求める問題です。 (1) 3, 5, 8の少なくとも1つで割り切れる数の個数 (2) 3でも5でも8でも割り切れない数の個数 (3) 3または5で割り切れるが、8で割り切れない数の個数

1. 問題の内容

1から200までの整数について、以下の個数を求める問題です。

(1) 3, 5, 8の少なくとも1つで割り切れる数の個数

(2) 3でも5でも8でも割り切れない数の個数

(3) 3または5で割り切れるが、8で割り切れない数の個数

2. 解き方の手順

(1) 3, 5, 8の少なくとも1つで割り切れる数の個数

* 3で割り切れる数の個数: $A = \lfloor \frac{200}{3} \rfloor = 66$

* 5で割り切れる数の個数: $B = \lfloor \frac{200}{5} \rfloor = 40$

* 8で割り切れる数の個数: $C = \lfloor \frac{200}{8} \rfloor = 25$

* 15で割り切れる数の個数: $A \cap B = \lfloor \frac{200}{15} \rfloor = 13$

* 24で割り切れる数の個数: $A \cap C = \lfloor \frac{200}{24} \rfloor = 8$

* 40で割り切れる数の個数: $B \cap C = \lfloor \frac{200}{40} \rfloor = 5$

* 120で割り切れる数の個数: $A \cap B \cap C = \lfloor \frac{200}{120} \rfloor = 1$

包除原理より、

$A \cup B \cup C = A + B + C - (A \cap B) - (A \cap C) - (B \cap C) + (A \cap B \cap C) = 66 + 40 + 25 - 13 - 8 - 5 + 1 = 106$

(2) 3でも5でも8でも割り切れない数の個数

全体の数から、(1)で求めた3, 5, 8の少なくとも1つで割り切れる数の個数を引けばよい。

$200 - 106 = 94$

(3) 3または5で割り切れるが、8で割り切れない数の個数

* 3で割り切れる数の個数: $A = 66$

* 5で割り切れる数の個数: $B = 40$

* 15で割り切れる数の個数: $A \cap B = 13$

3または5で割り切れる数の個数: $A \cup B = A + B - (A \cap B) = 66 + 40 - 13 = 93$

* 3かつ8で割り切れる数の個数: $A \cap C = \lfloor \frac{200}{24} \rfloor = 8$

* 5かつ8で割り切れる数の個数: $B \cap C = \lfloor \frac{200}{40} \rfloor = 5$

* 3かつ5かつ8で割り切れる数の個数: $A \cap B \cap C = \lfloor \frac{200}{120} \rfloor = 1$

3または5で割り切れ、かつ8で割り切れる数の個数: $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) = (A \cap C) + (B \cap C) - (A \cap B \cap C) = 8 + 5 - 1 = 12$

3または5で割り切れるが、8で割り切れない数の個数: $(A \cup B) - ((A \cup B) \cap C) = 93 - 12 = 81$

3. 最終的な答え

(1) 106個

(2) 94個

(3) 81個