順列 $_n P_r$ と組み合わせ $_n C_r$ の式の中の空欄を、与えられた選択肢から適切なものを選択して埋める問題です。

1. 問題の内容

順列 $_n P_r$ と組み合わせ $_n C_r$ の式の中の空欄を、与えられた選択肢から適切なものを選択して埋める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $_n P_r$ の式について考えます。

順列 $_n P_r$ は、$n$ 個の中から $r$ 個を選んで並べる場合の数を表します。

式は以下のようになります。

$_n P_r = n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)$

よって、10 に当てはまるのは $n-1$ であり、選択肢のイです。

11 に当てはまるのは $n-r+1$ であり、選択肢のクです。

(2) $_n C_r$ の式について考えます。

組み合わせ $_n C_r$ は、$n$ 個の中から $r$ 個を選ぶ場合の数を表します。

式は以下のようになります。

$_n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)}{r(r-1)(r-2)\cdots1}$

$_n C_r = \frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r!}$ という形を利用して問題を解きます。

まず、12 は分子である $n(n-1)\cdots (n-r+1)$ に対応していることがわかります。

次に、13 は分母である $r!$ に対応していることがわかります。

12の分子の最後の項が 14 であるので、$n-r+1$ に相当します。したがって、14は $n-r+1$ です。

13の分母の最初の項が 15 であるので、$r$ に相当します。したがって、15は $r$ です。

したがって、

12 に当てはまるのは $n(n-1) \cdots (n-r+1)$。これは $_n C_r$ の分子に相当します。

13 に当てはまるのは $r!$であり、選択肢のコです。

14 に当てはまるのは $n-r+1$であり、選択肢のクです。

15 に当てはまるのは $r$ であり、選択肢のエです。

3. 最終的な答え

10: イ

11: ク

12: $n(n-1) \cdots (n-r+1)$ (選択肢にはありません)

13: コ

14: ク

15: エ