「SUUGAKUKA」の9文字を1列に並べる場合の数を求める問題です。 (1) すべての並べ方を求める。 (2) 「S」と「G」が左からこの順に並ぶ並べ方を求める。

1. 問題の内容

「SUUGAKUKA」の9文字を1列に並べる場合の数を求める問題です。

(1) すべての並べ方を求める。

(2) 「S」と「G」が左からこの順に並ぶ並べ方を求める。

2. 解き方の手順

(1) すべての並べ方

「SUUGAKUKA」の9文字のうち、Uが2つ、Aが2つ、Kが2つあります。

したがって、すべての並べ方は、同じものを含む順列の公式を用いて計算できます。

すべての並べ方は：

$\frac{9!}{2!2!2!} = \frac{362880}{8} = 45360$

(2) 「S」と「G」が左からこの順に並ぶ並べ方

まず、SとGを区別しない同じ文字X, Xとして考えます。つまり、9文字のうち、Uが2つ、Aが2つ、Kが2つ、そしてXが2つあると考えます。

このときの並べ方は $\frac{9!}{2!2!2!2!} = \frac{362880}{16} = 22680$通りです。

この2つのXのうち、左側のXをS、右側のXをGと置き換えることで、S, Gが左からこの順に並ぶ並べ方が得られます。

したがって、S, Gが左からこの順に並ぶ並べ方は：

$\frac{9!}{2!2!2!2!} = 22680$

あるいは、別の考え方として、まず、９個の場所からSとGの場所を２つ選びます。$_9C_2$ 通りの選び方があります。SとGの順番はS,Gと決まっています。残りの７文字（U, U, A, A, K, K, その他１文字）を並べます。残りの1文字は「SUUGAKUKA」からSとGを取り除いた文字なので、SUUAKUKAとなり、残りの1文字はU, A, K以外の文字であるため、この文字はAまたはKである可能性があり、Uもダブっているため、場合分けは不要でAまたはKの2文字になります。したがって、残り７文字は並べ替えると $\frac{7!}{2!2!2!} = \frac{5040}{8} = 630$ となります。

したがって、S, Gが左からこの順に並ぶ並べ方は：

$_{9}C_{2} \times \frac{7!}{2!2!2!} = \frac{9 \times 8}{2} \times \frac{7!}{2!2!1!1!1!} = 36 \times \frac{5040}{8} = 36 \times 630 = 22680$

3. 最終的な答え

(1) すべての並べ方：45360 通り

(2) S, Gが左からこの順に並ぶ並べ方：22680 通り