5つの数字1, 2, 3, 4, 5をそれぞれ1回ずつ使って4桁の整数を作るとき、4135以上の整数は何個できるかを求めます。

## 問題１

1. 問題の内容

5つの数字1, 2, 3, 4, 5をそれぞれ1回ずつ使って4桁の整数を作るとき、4135以上の整数は何個できるかを求めます。

2. 解き方の手順

まず、千の位が4の場合を考えます。

- 千の位が4の場合、百の位が1の場合を考えます。

- 百の位が1の場合、十の位が3の場合を考えます。

- 十の位が3の場合、一の位が5の場合があります。これは4135です。

- 十の位が3の場合、一の位が5より大きい数はないため、4135のみです。

- 百の位が1より大きい場合を考えます。

- 百の位が2, 3, 5のいずれかの場合、残りの2つの位は自由に並べることができます。

- 百の位が2の場合、残りの位は3, 5から2つ選んで並べるので、$2! = 2$通りです。

- 百の位が3の場合、残りの位は2, 5から2つ選んで並べるので、$2! = 2$通りです。

- 百の位が5の場合、残りの位は2, 3から2つ選んで並べるので、$2! = 2$通りです。

- よって、千の位が4で、百の位が1より大きい場合は、$2 + 2 + 2 = 6$通りです。

- 千の位が5の場合を考えます。

- 千の位が5の場合、残りの3つの位は自由に並べることができます。

- 残りの位は1, 2, 3, 4から3つ選んで並べるので、$4 \times 3 \times 2 = 24$通りです。

- よって、4135以上の整数は、$1 + 6 + 24 = 31$個です。

3. 最終的な答え

31個

## 問題2

1. 問題の内容

サイコロを4回投げて出た目を順番に並べて4桁の整数を作るとき、4の倍数となる整数は何個できるかを求めます。

2. 解き方の手順

4の倍数であるためには、下2桁が4の倍数である必要があります。

サイコロの目は1から6なので、下2桁が4の倍数になる組み合わせは以下の通りです。

- 12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56, 64

したがって、下2桁が4の倍数になる組み合わせは9通りです。

上2桁はそれぞれ1から6の数字を自由に選ぶことができます。

よって、上2桁の組み合わせは$6 \times 6 = 36$通りです。

したがって、4の倍数となる整数の個数は、$36 \times 9 = 324$個です。

3. 最終的な答え

324個