不等式 $2x - 3 > a + 8x$ について、以下の3つの問いに答えます。 (1) 解が $x < 1$ となるように、定数 $a$ の値を定めます。 (2) 解が $x = 0$ を含むように、定数 $a$ の値の範囲を定めます。 (3) この不等式を満たす $x$ のうち、最大の整数が 0 となるように、定数 $a$ の値の範囲を定めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

不等式 $2x - 3 > a + 8x$ について、以下の3つの問いに答えます。

(1) 解が $x < 1$ となるように、定数 $a$ の値を定めます。

(2) 解が $x = 0$ を含むように、定数 $a$ の値の範囲を定めます。

(3) この不等式を満たす $x$ のうち、最大の整数が 0 となるように、定数 $a$ の値の範囲を定めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形します。

$2x - 3 > a + 8x$

$-6x > a + 3$

$x < -\frac{a+3}{6}$

(1) 解が $x < 1$ となるように $a$ の値を定めます。

$-\frac{a+3}{6} = 1$ となればよいので、

$-(a+3) = 6$

$-a - 3 = 6$

$-a = 9$

$a = -9$

となります。

しかし、$x<1$となるためには、$x<-\frac{a+3}{6}$の $-\frac{a+3}{6}$が1と等しければよいわけではありません。 $-\frac{a+3}{6}=1$ となる時に、 $x<1$になります。一方で、$-\frac{a+3}{6}>1$であれば、$x<-\frac{a+3}{6}<1$なので、$x<1$となります。したがって、$-\frac{a+3}{6} \ge 1$となる必要があります。

$-(a+3) \ge 6$

$-a - 3 \ge 6$

$-a \ge 9$

$a \le -9$

(2) 解が $x = 0$ を含むように $a$ の値の範囲を定めます。

$x = 0$ が解であるということは、$0 < -\frac{a+3}{6}$ が成り立つということです。

$0 < -\frac{a+3}{6}$

$0 > \frac{a+3}{6}$

$0 > a + 3$

$a < -3$

(3) この不等式を満たす $x$ のうち、最大の整数が 0 となるように $a$ の値の範囲を定めます。

$x < -\frac{a+3}{6}$ を満たす最大の整数が 0 であるということは、

$0 < -\frac{a+3}{6} \le 1$ が成り立つということです。

$0 < -\frac{a+3}{6}$ は (2) より $a < -3$ です。

$-\frac{a+3}{6} \le 1$ については、(1) と同様に、

$-(a+3) \le 6$

$-a - 3 \le 6$

$-a \le 9$

$a \ge -9$

したがって、$-9 \le a < -3$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a \le -9$

(2) $a < -3$

(3) $-9 \le a < -3$