$a$ を定数とする、$x$ の方程式 $\cos 2x - (2a+1) \cos x + a + 1 = 0$ について、以下の問題を解く。 (1) $a=1$ のとき、$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ において、与えられた方程式を満たす $x$ の値を求める。 (2) $a \ge 0$ のとき、$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ において、与えられた方程式を満たす $x$ の値の個数を、$a$ の値によって分類して求める。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする、$x$ の方程式 $\cos 2x - (2a+1) \cos x + a + 1 = 0$ について、以下の問題を解く。

(1) $a=1$ のとき、$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ において、与えられた方程式を満たす $x$ の値を求める。

(2) $a \ge 0$ のとき、$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ において、与えられた方程式を満たす $x$ の値の個数を、$a$ の値によって分類して求める。

2. 解き方の手順

(1) $a=1$ を方程式に代入すると、

$\cos 2x - 3 \cos x + 2 = 0$

$\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ であるから、

$2 \cos^2 x - 1 - 3 \cos x + 2 = 0$

$2 \cos^2 x - 3 \cos x + 1 = 0$

$(2 \cos x - 1)(\cos x - 1) = 0$

よって、$\cos x = 1$ または $\cos x = \frac{1}{2}$

$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ において、$\cos x = 1$ のとき $x = 0$、$\cos x = \frac{1}{2}$ のとき $x = \pm \frac{\pi}{3}$。

したがって、$x = 0, \pm \frac{\pi}{3}$。

(2) 与えられた方程式を $\cos x$ の式に変形する。

$\cos 2x - (2a+1) \cos x + a + 1 = 0$

$2 \cos^2 x - 1 - (2a+1) \cos x + a + 1 = 0$

$2 \cos^2 x - (2a+1) \cos x + a = 0$

$(2 \cos x - 1)(\cos x - a) = 0$

よって、$\cos x = \frac{1}{2}$ または $\cos x = a$

$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ において、$\cos x = \frac{1}{2}$ のとき $x = \pm \frac{\pi}{3}$。

$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ において、$\cos x = a$ を考える。

$a \ge 0$ であることに注意する。

(i) $0 \le a < \frac{1}{2}$ のとき、$\cos x = a$ は $x = \pm \alpha$ ($0 < \alpha < \frac{\pi}{3}$) の2つの解を持つ。よって、$x = \pm \frac{\pi}{3}, \pm \alpha$ の4つの解を持つ。

(ii) $a = \frac{1}{2}$ のとき、$\cos x = a$ は $x = \pm \frac{\pi}{3}$ の2つの解を持つ。よって、$x = \pm \frac{\pi}{3}$ の2つの解を持つ。この場合は$x = \frac{\pi}{3}$と$x=-\frac{\pi}{3}$の二つである。

(iii) $\frac{1}{2} < a \le 1$ のとき、$\cos x = a$ は $x = \pm \beta$ ($\frac{\pi}{3} < \beta \le \frac{\pi}{2}$) の2つの解を持つ。よって、$x = \pm \frac{\pi}{3}, \pm \beta$ の4つの解を持つ。

(i) $0 \le a < \frac{1}{2}$ のとき、解の個数は4個。

(ii) $a = \frac{1}{2}$ のとき、解の個数は2個。

(iii) $\frac{1}{2} < a \le 1$ のとき、解の個数は2個。

3. 最終的な答え

(1) $x = 0, \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}$

(2)

$0 \le a < \frac{1}{2}$ のとき、4個

$a = \frac{1}{2}$ のとき、2個

$\frac{1}{2} < a \le 1$ のとき、2個