問題は2つあります。 (5) $2x + 3y = 4$ のとき、$y^2 - 4x$ の最小値と、そのときの $x, y$ を求めよ。 (6) $x^2 + 4y = -4$ のとき、$x+y$ の最大値と、そのときの $x, y$ を求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(5) $2x + 3y = 4$ のとき、$y^2 - 4x$ の最小値と、そのときの $x, y$ を求めよ。

(6) $x^2 + 4y = -4$ のとき、$x+y$ の最大値と、そのときの $x, y$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(5) $2x + 3y = 4$ より $2x = 4 - 3y$ 。したがって $x = 2 - \frac{3}{2}y$。

$y^2 - 4x = y^2 - 4(2 - \frac{3}{2}y) = y^2 - 8 + 6y = y^2 + 6y - 8 = (y+3)^2 - 9 - 8 = (y+3)^2 - 17$。

$(y+3)^2 \geq 0$ より、最小値は $y = -3$ のときで、最小値は $-17$。

$x = 2 - \frac{3}{2}y = 2 - \frac{3}{2}(-3) = 2 + \frac{9}{2} = \frac{4+9}{2} = \frac{13}{2}$。

(6) $x^2 + 4y = -4$ より $4y = -4 - x^2$ 。したがって $y = -1 - \frac{1}{4}x^2$。

$x + y = x + (-1 - \frac{1}{4}x^2) = x - 1 - \frac{1}{4}x^2 = -\frac{1}{4}x^2 + x - 1 = -\frac{1}{4}(x^2 - 4x + 4) + \frac{4}{4} - 1 = -\frac{1}{4}(x-2)^2$。

$(x-2)^2 \geq 0$ より、$-\frac{1}{4}(x-2)^2 \leq 0$。

よって、最大値は $x = 2$ のときで、最大値は $0$。

$y = -1 - \frac{1}{4}x^2 = -1 - \frac{1}{4}(2^2) = -1 - \frac{1}{4}(4) = -1 - 1 = -2$。

3. 最終的な答え

(5) 最小値は $-17$ で、$x = \frac{13}{2}$, $y = -3$ のとき。

(6) 最大値は $0$ で、$x = 2$, $y = -2$ のとき。