$f(x) = -x^2 - 2x + 3$ という関数が与えられています。定数 $a$ に対して、区間 $a \le x \le a+1$ における $f(x)$ の最小値を $m(a)$、最大値を $M(a)$ とします。$m(a)$ と $M(a)$ をそれぞれ $a$ の関数として求める問題です。

1. 問題の内容

$f(x) = -x^2 - 2x + 3$ という関数が与えられています。定数 $a$ に対して、区間 $a \le x \le a+1$ における $f(x)$ の最小値を $m(a)$、最大値を $M(a)$ とします。$m(a)$ と $M(a)$ をそれぞれ $a$ の関数として求める問題です。

2. 解き方の手順

(7) $m(a)$ を求める。

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 + 2x) + 3 = -(x^2 + 2x + 1) + 1 + 3 = -(x+1)^2 + 4$

$f(x)$ は $x=-1$ で最大値 $4$ をとる上に凸な放物線です。

区間 $a \le x \le a+1$ における最小値を $m(a)$ とします。

$a \le x \le a+1$ の範囲と、軸 $x = -1$ の位置関係で場合分けをします。

(i) $a+1 < -1$ つまり $a < -2$ のとき、区間内で $x$ が増加すると、$f(x)$ は減少するので、

$m(a) = f(a+1) = -(a+1)^2 - 2(a+1) + 3 = -(a^2 + 2a + 1) - 2a - 2 + 3 = -a^2 - 4a$

(ii) $a \le -1 \le a+1$ つまり $-2 \le a \le -1$ のとき、$f(x)$ は $x=-1$ のとき最大値をとるので、最小値は区間の端点のどちらかになります。

$f(a) = -a^2 - 2a + 3$

$f(a+1) = -a^2 - 4a$

$f(a) - f(a+1) = -a^2 - 2a + 3 - (-a^2 - 4a) = 2a + 3$

$f(a) - f(a+1) = 0$ となるのは $a = -\frac{3}{2}$ のときです。

$a < -\frac{3}{2}$ のとき $f(a) - f(a+1) < 0$ つまり $f(a) < f(a+1)$ なので、$m(a) = f(a) = -a^2 - 2a + 3$

$a > -\frac{3}{2}$ のとき $f(a) - f(a+1) > 0$ つまり $f(a) > f(a+1)$ なので、$m(a) = f(a+1) = -a^2 - 4a$

$-2 \le a < -\frac{3}{2}$ のとき、$m(a) = -a^2 - 2a + 3$

$-\frac{3}{2} \le a \le -1$ のとき、$m(a) = -a^2 - 4a$

(iii) $-1 < a$ のとき、区間内で $x$ が増加すると、$f(x)$ は増加するので、

$m(a) = f(a) = -a^2 - 2a + 3$

(8) $M(a)$ を求める。

(i) $a+1 < -1$ つまり $a < -2$ のとき、区間内で $x$ が増加すると、$f(x)$ は減少するので、

$M(a) = f(a) = -a^2 - 2a + 3$

(ii) $a \le -1 \le a+1$ つまり $-2 \le a \le -1$ のとき、軸 $x=-1$ が区間内に含まれるので、最大値は頂点の $x=-1$ のときで、

$M(a) = f(-1) = 4$

(iii) $-1 < a$ のとき、区間内で $x$ が増加すると、$f(x)$ は増加するので、

$M(a) = f(a+1) = -a^2 - 4a$

3. 最終的な答え

(7) $m(a)$

$a < -2$ のとき、$m(a) = -a^2 - 4a$

$-2 \le a < -\frac{3}{2}$ のとき、$m(a) = -a^2 - 2a + 3$

$-\frac{3}{2} \le a \le -1$ のとき、$m(a) = -a^2 - 4a$

$-1 < a$ のとき、$m(a) = -a^2 - 2a + 3$

(8) $M(a)$

$a < -2$ のとき、$M(a) = -a^2 - 2a + 3$

$-2 \le a \le -1$ のとき、$M(a) = 4$

$-1 < a$ のとき、$M(a) = -a^2 - 4a$