与えられた式を計算して、最も簡単な形にしてください。 与えられた式は $\frac{2x+1}{x^2+4x+3} - \frac{x-7}{x^2+2x-3}$ です。

1. 問題の内容

与えられた式を計算して、最も簡単な形にしてください。

与えられた式は

$\frac{2x+1}{x^2+4x+3} - \frac{x-7}{x^2+2x-3}$

です。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^2+4x+3 = (x+1)(x+3)$

$x^2+2x-3 = (x+3)(x-1)$

したがって、与えられた式は、

$\frac{2x+1}{(x+1)(x+3)} - \frac{x-7}{(x+3)(x-1)}$

となります。

次に、共通の分母を見つけます。

共通の分母は $(x+1)(x+3)(x-1)$です。

それぞれの分数を共通の分母で書き換えます。

$\frac{2x+1}{(x+1)(x+3)} = \frac{(2x+1)(x-1)}{(x+1)(x+3)(x-1)}$

$\frac{x-7}{(x+3)(x-1)} = \frac{(x-7)(x+1)}{(x+3)(x-1)(x+1)}$

したがって、与えられた式は、

$\frac{(2x+1)(x-1)}{(x+1)(x+3)(x-1)} - \frac{(x-7)(x+1)}{(x+3)(x-1)(x+1)}$

となります。

次に、分子を展開します。

$(2x+1)(x-1) = 2x^2 -2x + x -1 = 2x^2 -x -1$

$(x-7)(x+1) = x^2 +x -7x -7 = x^2 -6x -7$

したがって、与えられた式は、

$\frac{2x^2 -x -1}{(x+1)(x+3)(x-1)} - \frac{x^2 -6x -7}{(x+3)(x-1)(x+1)}$

となります。

次に、分数を結合します。

$\frac{2x^2 -x -1 - (x^2 -6x -7)}{(x+1)(x+3)(x-1)}$

$= \frac{2x^2 -x -1 - x^2 +6x +7}{(x+1)(x+3)(x-1)}$

$= \frac{x^2 +5x +6}{(x+1)(x+3)(x-1)}$

次に、分子を因数分解します。

$x^2 +5x +6 = (x+2)(x+3)$

したがって、与えられた式は、

$\frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)(x-1)}$

となります。

最後に、共通の因子を取り消します。

$\frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)(x-1)} = \frac{x+2}{(x+1)(x-1)}$

$= \frac{x+2}{x^2-1}$

3. 最終的な答え

$\frac{x+2}{x^2-1}$