与えられた4次方程式 $x^4 - x^3 + x^2 + x - 2 = 0$ の解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた4次方程式 $x^4 - x^3 + x^2 + x - 2 = 0$ の解を求めます。

2. 解き方の手順

まず、整数解を探します。定数項が-2であるため、解の候補として±1, ±2を試します。

$x=1$ のとき: $1^4 - 1^3 + 1^2 + 1 - 2 = 1 - 1 + 1 + 1 - 2 = 0$

したがって、$x=1$ は解の一つです。

$x=-1$ のとき: $(-1)^4 - (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) - 2 = 1 + 1 + 1 - 1 - 2 = 0$

したがって、$x=-1$ も解の一つです。

$x=1$と$x=-1$が解であることから、$(x-1)$と$(x+1)$が因数であることがわかります。

したがって、$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$も因数となります。

与えられた4次式を$x^2-1$で割ります。

```

x^4 - x^3 + x^2 + x - 2 = (x^2 - 1)(x^2 - x + 2)

```

$x^2 - x + 2 = 0$ を解きます。

解の公式を用いて、$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$を計算します。

この場合、$a=1$, $b=-1$, $c=2$です。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$

3. 最終的な答え

$x = 1, -1, \frac{1 + i\sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{7}}{2}$