（1）$\sqrt{5}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき, $a$ と $b$ を求めよ。 （2）$\frac{a}{b}$ の整数の部分を求めよ。

1. 問題の内容

（1）$\sqrt{5}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき, $a$ と $b$ を求めよ。

（2）$\frac{a}{b}$ の整数の部分を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{5}$ の近似値を考える。$2^2 = 4 < 5 < 9 = 3^2$ より, $2 < \sqrt{5} < 3$ である。したがって, $\sqrt{5}$ の整数の部分は 2 であるから, $a = 2$ となる。

$\sqrt{5}$ の小数の部分は $\sqrt{5}$ から整数の部分を引いたものなので, $b = \sqrt{5} - 2$ となる。

(2) $\frac{a}{b} = \frac{2}{\sqrt{5} - 2}$ を計算する。分母を有理化するために, 分母と分子に $\sqrt{5} + 2$ をかける。

$\frac{2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{2(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{2(\sqrt{5} + 2)}{5 - 4} = 2(\sqrt{5} + 2) = 2\sqrt{5} + 4$

$2 < \sqrt{5} < 3$ より, $4 < 2\sqrt{5} < 6$ となる。したがって, $4+4 < 2\sqrt{5}+4 < 6+4$ つまり, $8 < 2\sqrt{5}+4 < 10$ である。

$2\sqrt{5} + 4$ の整数の部分を求める。

$2\sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$ である。

$4^2 = 16 < 20 < 25 = 5^2$ より $4 < \sqrt{20} < 5$

$2\sqrt{5} + 4$ の範囲は $8 < 2\sqrt{5} + 4 < 9$ なので、$2\sqrt{5} + 4$ の整数の部分は 8 になる。

3. 最終的な答え

(1) $a=2$, $b=\sqrt{5}-2$

(2) 8