与えられた多項式を因数定理を利用して因数分解する問題です。具体的には、以下の4つの多項式を因数分解します。 (1) $2x^3 + x^2 + x - 1$ (2) $2x^3 + 3x^2 + 5x + 2$ (3) $27x^3 + 18x^2 - 12x - 8$ (4) $27x^4 + 54x^3 - 72x^2 + 26x - 3$

1. 問題の内容

与えられた多項式を因数定理を利用して因数分解する問題です。具体的には、以下の4つの多項式を因数分解します。

(1) $2x^3 + x^2 + x - 1$

(2) $2x^3 + 3x^2 + 5x + 2$

(3) $27x^3 + 18x^2 - 12x - 8$

(4) $27x^4 + 54x^3 - 72x^2 + 26x - 3$

2. 解き方の手順

(1) $2x^3 + x^2 + x - 1$

因数定理より、この式が $x = a$ で $0$ になるような $a$ を探します。$x = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$2(\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} - 1 = 2(\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$

したがって、$x - \frac{1}{2}$ は因数です。$2x-1$ も因数です。

$2x^3 + x^2 + x - 1$ を $2x - 1$ で割ると、$x^2 + x + 1$ となります。

$2x^3 + x^2 + x - 1 = (2x - 1)(x^2 + x + 1)$

(2) $2x^3 + 3x^2 + 5x + 2$

$x = - \frac{1}{2}$ を代入すると、

$2(-\frac{1}{2})^3 + 3(-\frac{1}{2})^2 + 5(-\frac{1}{2}) + 2 = 2(-\frac{1}{8}) + 3(\frac{1}{4}) - \frac{5}{2} + 2 = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} - \frac{10}{4} + \frac{8}{4} = 0$

したがって、$x + \frac{1}{2}$ は因数です。 $2x + 1$ も因数です。

$2x^3 + 3x^2 + 5x + 2$ を $2x + 1$ で割ると、$x^2 + x + 2$ となります。

$2x^3 + 3x^2 + 5x + 2 = (2x + 1)(x^2 + x + 2)$

(3) $27x^3 + 18x^2 - 12x - 8$

$x = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$27(\frac{2}{3})^3 + 18(\frac{2}{3})^2 - 12(\frac{2}{3}) - 8 = 27(\frac{8}{27}) + 18(\frac{4}{9}) - 8 - 8 = 8 + 8 - 8 - 8 = 0$

したがって、$x - \frac{2}{3}$ は因数です。 $3x - 2$ も因数です。

$27x^3 + 18x^2 - 12x - 8$ を $3x - 2$ で割ると、$9x^2 + 12x + 4$ となります。

$9x^2 + 12x + 4 = (3x + 2)^2$

$27x^3 + 18x^2 - 12x - 8 = (3x - 2)(3x + 2)^2$

(4) $27x^4 + 54x^3 - 72x^2 + 26x - 3$

$x = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$27(\frac{1}{3})^4 + 54(\frac{1}{3})^3 - 72(\frac{1}{3})^2 + 26(\frac{1}{3}) - 3 = 27(\frac{1}{81}) + 54(\frac{1}{27}) - 72(\frac{1}{9}) + \frac{26}{3} - 3 = \frac{1}{3} + 2 - 8 + \frac{26}{3} - 3 = \frac{27}{3} - 9 = 9 - 9 = 0$

したがって、$x - \frac{1}{3}$ は因数です。 $3x - 1$ も因数です。

$27x^4 + 54x^3 - 72x^2 + 26x - 3$ を $3x - 1$ で割ると、$9x^3 + 21x^2 - 17x + 3$ となります。

$9x^3 + 21x^2 - 17x + 3$ に再び $x = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$9(\frac{1}{3})^3 + 21(\frac{1}{3})^2 - 17(\frac{1}{3}) + 3 = 9(\frac{1}{27}) + 21(\frac{1}{9}) - \frac{17}{3} + 3 = \frac{1}{3} + \frac{7}{3} - \frac{17}{3} + \frac{9}{3} = 0$

$9x^3 + 21x^2 - 17x + 3$ を $3x - 1$ で割ると、$3x^2 + 8x - 3$ となります。

$3x^2 + 8x - 3 = (3x - 1)(x + 3)$

$27x^4 + 54x^3 - 72x^2 + 26x - 3 = (3x - 1)(9x^3 + 21x^2 - 17x + 3) = (3x - 1)(3x - 1)(3x^2 + 8x - 3) = (3x - 1)^2(3x - 1)(x + 3) = (3x - 1)^3(x + 3)$

3. 最終的な答え

(1) $(2x - 1)(x^2 + x + 1)$

(2) $(2x + 1)(x^2 + x + 2)$

(3) $(3x - 2)(3x + 2)^2$

(4) $(3x - 1)^3(x + 3)$