問題1: 与えられた数列の規則性を見つけ、空欄に当てはまる数字を記入する。 問題2: 数列 ${a_n}$ の一般項が与えられたとき、初項から第5項までを求める。 問題3: 数列 ${a_n}$ の第6項を求め、さらに一般項 ${a_n}$ を $n$ の式で表す。 問題4: 与えられた有限数列の初項、末項、および項数を求める。

1. 問題の内容

問題1: 与えられた数列の規則性を見つけ、空欄に当てはまる数字を記入する。

問題2: 数列 ${a_n}$ の一般項が与えられたとき、初項から第5項までを求める。

問題3: 数列 ${a_n}$ の第6項を求め、さらに一般項 ${a_n}$ を $n$ の式で表す。

問題4: 与えられた有限数列の初項、末項、および項数を求める。

2. 解き方の手順

問題1

(1) 数列 $3, 5, 7, \underline{\hspace{1cm}}, 11, 13, \dots$ は、初項3、公差2の等差数列である。したがって、空欄は $7 + 2 = 9$ となる。

(2) 数列 $10, 6, 2, -2, \underline{\hspace{1cm}}, -10, \dots$ は、初項10、公差-4の等差数列である。したがって、空欄は $-2 - 4 = -6$ となる。

(3) 数列 $1, 3, \underline{\hspace{1cm}}, 27, 81, 243, \dots$ は、初項1、公比3の等比数列である。したがって、空欄は $3 \times 3 = 9$ となる。

(4) 数列 $16, \underline{\hspace{1cm}}, 4, -2, 1, -\frac{1}{2}, \dots$ は、公比が $-\frac{1}{2}$ の等比数列である。したがって、空欄は $16 \times (-\frac{1}{2}) = -8$ となる。

問題2

(1) ${a_n} = 3n - 2$

$a_1 = 3(1) - 2 = 1$

$a_2 = 3(2) - 2 = 4$

$a_3 = 3(3) - 2 = 7$

$a_4 = 3(4) - 2 = 10$

$a_5 = 3(5) - 2 = 13$

(2) ${a_n} = n^2 - 2$

$a_1 = 1^2 - 2 = -1$

$a_2 = 2^2 - 2 = 2$

$a_3 = 3^2 - 2 = 7$

$a_4 = 4^2 - 2 = 14$

$a_5 = 5^2 - 2 = 23$

(3) ${a_n} = \frac{n}{n+1}$

$a_1 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

$a_2 = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$

$a_3 = \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$

$a_4 = \frac{4}{4+1} = \frac{4}{5}$

$a_5 = \frac{5}{5+1} = \frac{5}{6}$

(4) ${a_n} = 10^n - 1$

$a_1 = 10^1 - 1 = 9$

$a_2 = 10^2 - 1 = 99$

$a_3 = 10^3 - 1 = 999$

$a_4 = 10^4 - 1 = 9999$

$a_5 = 10^5 - 1 = 99999$

問題3

(1) 3の正の倍数の数列は、 $3, 6, 9, 12, 15, 18, \dots$ となる。第6項は18。一般項は ${a_n} = 3n$。

(2) 自然数の2乗の数列は、$1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots$ となる。第6項は36。一般項は ${a_n} = n^2$。

(3) 5で割ると余りが3となる自然数の数列は、$3, 8, 13, 18, 23, 28, \dots$ となる。第6項は28。一般項は ${a_n} = 5n - 2$。

問題4

(1) 1以上99以下の6の倍数の数列は、$6, 12, 18, \dots, 96$。初項は6、末項は96。項数は $96 = 6n$ より $n = 16$。

(2) 2桁の奇数の数列は、$11, 13, 15, \dots, 99$。初項は11、末項は99。項数は $\frac{99-11}{2} + 1 = \frac{88}{2} + 1 = 44 + 1 = 45$。

3. 最終的な答え

問題1

(1) 9

(2) -6

(3) 9

(4) -8

問題2

(1) 1, 4, 7, 10, 13

(2) -1, 2, 7, 14, 23

(3) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6

(4) 9, 99, 999, 9999, 99999

問題3

(1) 第6項: 18, 一般項: $a_n = 3n$

(2) 第6項: 36, 一般項: $a_n = n^2$

(3) 第6項: 28, 一般項: $a_n = 5n - 2$

問題4

(1) 初項: 6, 末項: 96, 項数: 16

(2) 初項: 11, 末項: 99, 項数: 45