与えられた３つの式（重根号を含む）を簡単にします。 (1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{2-\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた３つの式（重根号を含む）を簡単にします。

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{2-\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

重根号の外し方の公式: $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$ を利用します。

$7+2\sqrt{10}$ を $a+b+2\sqrt{ab}$ の形に変形します。

$a+b = 7$, $ab = 10$ となる $a, b$ を探します。

$a=5, b=2$ が条件を満たすことがわかります。

したがって、

$\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{5+2+2\sqrt{5 \cdot 2}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{5}+\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{12-2\sqrt{27}}$

$a+b = 12$, $ab = 27$ となる $a, b$ を探します。

$a=9, b=3$ が条件を満たすことがわかります。

したがって、

$\sqrt{12-2\sqrt{27}} = \sqrt{9+3-2\sqrt{9 \cdot 3}} = \sqrt{(\sqrt{9}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{(3-\sqrt{3})^2} = 3-\sqrt{3}$

(3) $\sqrt{2-\sqrt{3}}$

$\sqrt{2-\sqrt{3}}$

$\sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

$a+b = 4$, $ab = 3$ となる $a, b$ を探します。

$a=3, b=1$ が条件を満たすことがわかります。

したがって、

$\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3+1-2\sqrt{3 \cdot 1}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$

分母の有理化を行います。

$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5}+\sqrt{2}$

(2) $3-\sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$