与えられた問題は集合と約数に関する2つの小問を含む。 (5)では、全体集合$U$と部分集合$A, B, C$が与えられており、$A \cap B$と$(A \cup B) \cap C$を求める。 (6)では、$2^3 \cdot 3^5$の正の約数の個数を求め、さらに$2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d$の正の約数の個数が210個になるような自然数$a, b, c, d$の組の総数を求める。

1. 問題の内容

与えられた問題は集合と約数に関する2つの小問を含む。

(5)では、全体集合$U$と部分集合$A, B, C$が与えられており、$A \cap B$と$(A \cup B) \cap C$を求める。

(6)では、$2^3 \cdot 3^5$の正の約数の個数を求め、さらに$2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d$の正の約数の個数が210個になるような自然数$a, b, c, d$の組の総数を求める。

2. 解き方の手順

(5)

① $A \cap B$は、集合$A$と集合$B$の両方に含まれる要素の集合である。$A = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\}$、$B = \{3, 4, 5, 6\}$なので、$A \cap B = \{3, 4, 6\}$。

② $(A \cup B) \cap C$を求める。まず、$A \cup B$は、集合$A$または集合$B$に含まれる要素の集合である。$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$。$C$は1桁の素数の集合なので、$C = \{2, 3, 5, 7\}$。したがって、$(A \cup B) \cap C = \{2, 3, 5\}$。

(6)

① $2^3 \cdot 3^5$の正の約数の個数は、指数のそれぞれに1を加えて掛け合わせたものである。つまり、$(3+1)(5+1) = 4 \cdot 6 = 24$。

② $2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d$の正の約数の個数は$(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)$で表される。これが210に等しいので、$(a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = 210$。

210を素因数分解すると、$210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$。

$(a+1), (b+1), (c+1), (d+1)$は2, 3, 5, 7のいずれかである。

$a+1, b+1, c+1, d+1$はそれぞれ2, 3, 5, 7のどれかになるので、$a, b, c, d$はそれぞれ1, 2, 4, 6のどれかになる。

これらの組み合わせの個数は、2, 3, 5, 7の並び替えの数に等しいので、$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$個。

3. 最終的な答え

(5)

① $A \cap B = \{3, 4, 6\}$

② $(A \cup B) \cap C = \{2, 3, 5\}$

(6)

① 24

② 24