与えられた3つの式の二重根号を外して簡略化する問題です。 (1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{2-\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式の二重根号を外して簡略化する問題です。

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{2-\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ の形を目指します。

$7 = a+b$、 $10 = ab$ となる $a, b$ を探します。

$a=5$, $b=2$ が条件を満たします。

$\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{5+2+2\sqrt{5 \cdot 2}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{12-2\sqrt{27}}$

$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$ の形を目指します。

$12 = a+b$、 $27 = ab$ となる $a, b$ を探します。

$a=9$, $b=3$ が条件を満たします。

$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{9+3-2\sqrt{9 \cdot 3}} = \sqrt{(\sqrt{9}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{(3-\sqrt{3})^2} = 3 - \sqrt{3}$

(3) $\sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{2-\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$ の形を目指します。

$4 = a+b$、 $3 = ab$ となる $a, b$ を探します。

$a=3$, $b=1$ が条件を満たします。

$\sqrt{2-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3+1-2\sqrt{3 \cdot 1}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $3 - \sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$