3つの自然数14, 63, $n$ があり、最大公約数が7、最小公倍数が882である。$n$が300より小さいとき、自然数$n$は全部で何個あるか。

1. 問題の内容

3つの自然数14, 63, $n$ があり、最大公約数が7、最小公倍数が882である。$n$が300より小さいとき、自然数$n$は全部で何個あるか。

2. 解き方の手順

まず、14, 63, $n$ をそれぞれ素因数分解する。

$14 = 2 \times 7$

$63 = 3^2 \times 7$

$n = 7k$　（ただし、$k$は整数）

最大公約数が7であることから、$n$は7の倍数であることがわかる。

最小公倍数882を素因数分解する。

$882 = 2 \times 3^2 \times 7^2$

14, 63, $n$ の最小公倍数が $2 \times 3^2 \times 7^2$ であることから、$n = 7k$ の $k$ は、$2 \times 3^2 \times 7^2$ の約数でなければならない。さらに、$14 = 2 \times 7$と$63 = 3^2 \times 7$があるので、$n$は$2$ または $3^2$ を含まないといけない。そして、$n$は$7^2$ の因数を持つ可能性がある。

$n = 7k$ とおく。

14, 63, $7k$ の最大公約数が7であるためには、$k$は2と9のどちらも約数に持たない必要がある。

最小公倍数が882であることから、$7k$は$2 \times 3^2 \times 7^2$の約数でなければならない。

$n = 7k$ とすると、3つの数の最小公倍数は、

$\text{lcm}(14, 63, 7k) = 2 \times 3^2 \times 7^2 = 882$

$n = 7k < 300$ より、$k < \frac{300}{7} \approx 42.8$

$n$の候補として、$7 \times 7 = 49$, $7 \times (2 \times 7) = 98$, $7 \times (3 \times 7) = 147$, $7 \times (2 \times 3 \times 7) = 294$

$\text{lcm}(14, 63, 49) = \text{lcm}(2 \times 7, 3^2 \times 7, 7^2) = 2 \times 3^2 \times 7^2 = 882$

$\text{lcm}(14, 63, 98) = \text{lcm}(2 \times 7, 3^2 \times 7, 2 \times 7^2) = 2 \times 3^2 \times 7^2 = 882$

$\text{lcm}(14, 63, 147) = \text{lcm}(2 \times 7, 3^2 \times 7, 3 \times 7^2) = 2 \times 3^2 \times 7^2 = 882$

$\text{lcm}(14, 63, 294) = \text{lcm}(2 \times 7, 3^2 \times 7, 2 \times 3 \times 7^2) = 2 \times 3^2 \times 7^2 = 882$

最大公約数が7であることを確認する。

$\gcd(14, 63, 49) = \gcd(2 \times 7, 3^2 \times 7, 7^2) = 7$

$\gcd(14, 63, 98) = \gcd(2 \times 7, 3^2 \times 7, 2 \times 7^2) = 7$

$\gcd(14, 63, 147) = \gcd(2 \times 7, 3^2 \times 7, 3 \times 7^2) = 7$

$\gcd(14, 63, 294) = \gcd(2 \times 7, 3^2 \times 7, 2 \times 3 \times 7^2) = 7$

よって、49, 98, 147, 294 の4つが条件を満たす。

3. 最終的な答え

4個