5個の数字0, 1, 2, 3, 4のうち異なる3個を並べて3桁の整数を作る。 (1) 3の倍数は何個作れるか。 (2) 小さい方から順に並べると、42番目の数は何か。

1. 問題の内容

5個の数字0, 1, 2, 3, 4のうち異なる3個を並べて3桁の整数を作る。

(1) 3の倍数は何個作れるか。

(2) 小さい方から順に並べると、42番目の数は何か。

2. 解き方の手順

(1) 3の倍数について

3桁の整数が3の倍数であるためには、各位の数字の和が3の倍数である必要がある。

0, 1, 2, 3, 4の中から3つ選んで和が3の倍数になる組み合わせは以下の通り。

* (0, 1, 2): 和は3

* (0, 2, 4): 和は6

* (1, 2, 3): 和は6

* (0, 3, 3): これは条件に合わない (異なる3つではないため)

* (2, 3, 4): 和は9

* (0, 3, 6): これは条件に合わない。6はないため。

* (1, 3, 2): 和は6。並び順が異なるだけなので重複を避ける。

* (3, 0, 6): これは条件に合わない。6はないため。

上記より、(0, 1, 2), (0, 2, 4), (1, 2, 3), (2, 3, 4) の4パターンである。

ただし、百の位が0になる場合は3桁の整数にならないので注意する。

* (0, 1, 2): 1, 2を百の位に置けるので、$2 \times 2 \times 1 = 4$ 通り。

* (0, 2, 4): 2, 4を百の位に置けるので、$2 \times 2 \times 1 = 4$ 通り。

* (1, 2, 3): $3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

* (2, 3, 4): $3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

したがって、3の倍数は $4 + 4 + 6 + 6 = 20$ 個作れる。

(2) 42番目の数について

小さい方から順に並べる。

百の位が1である数を考える。十の位と一の位に入る数字は0, 2, 3, 4のいずれかである。

百の位が1のとき、小さい順に並べると、

102, 103, 104, 120, 123, 124, 130, 132, 134, 140, 142, 143 となる。

百の位が1である数は、$4 \times 3 = 12$ 個。

百の位が2である数も同様に、$4 \times 3 = 12$ 個。

百の位が3である数も同様に、$4 \times 3 = 12$ 個。

ここまでで $12 + 12 + 12 = 36$ 個。

次に百の位が4の数を小さい順に並べると、

401, 402, 403, 410, 412, 413 となる。

ここまでで $36+6 = 42$ 個。

したがって、42番目の数は413である。

3. 最終的な答え

(1) 20個

(2) 413