5個の数字0, 1, 2, 3, 4の中から異なる3個を選んで並べ、3桁の整数を作るとき、3の倍数は何個作れるか。

1. 問題の内容

5個の数字0, 1, 2, 3, 4の中から異なる3個を選んで並べ、3桁の整数を作るとき、3の倍数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

3の倍数となる条件は、各桁の数の和が3の倍数になることです。

与えられた数字0, 1, 2, 3, 4の中から3個を選んで和が3の倍数になる組み合わせを考えます。

ありうる組み合わせは以下の通りです。

* {0, 1, 2}：和は3

* {0, 2, 4}：和は6

* {1, 2, 3}：和は6

* {0, 3, 3}：和は6。しかし、3は1つしかないので不適

* {2, 3, 4}：和は9

* {0, 3, 6}：6が含まれないので不適。

* {1, 4, 4}：4は1つなので不適。

* {3, 4, 5}：5が含まれないので不適。

したがって、組み合わせは {0, 1, 2}, {0, 2, 4}, {1, 2, 3}, {2, 3, 4} の4パターンです。

それぞれの組み合わせについて、3桁の整数が何個作れるかを考えます。

* {0, 1, 2}の場合：

百の位に0は使えないので、百の位は1または2のいずれかです。

百の位が1の場合、十の位は0または2のいずれかであり、一の位は残った数字になります。

百の位が2の場合、十の位は0または1のいずれかであり、一の位は残った数字になります。

よって、作れる整数の個数は $2 \times 2 \times 1 = 4$個です。

別の考え方：全体で3!通りだが、百の位が0になる場合（2!通り）を除外する。3! - 2! = 6 - 2 = 4。

* {0, 2, 4}の場合：

百の位に0は使えないので、百の位は2または4のいずれかです。

百の位が2の場合、十の位は0または4のいずれかであり、一の位は残った数字になります。

百の位が4の場合、十の位は0または2のいずれかであり、一の位は残った数字になります。

よって、作れる整数の個数は $2 \times 2 \times 1 = 4$個です。

別の考え方：全体で3!通りだが、百の位が0になる場合（2!通り）を除外する。3! - 2! = 6 - 2 = 4。

* {1, 2, 3}の場合：

3つの数字から3桁の整数を作るので、並べ方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$個です。

* {2, 3, 4}の場合：

3つの数字から3桁の整数を作るので、並べ方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$個です。

したがって、3の倍数は合計 $4 + 4 + 6 + 6 = 20$個作れます。

3. 最終的な答え

20個