0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 の8個の数字から5個を選んで5桁の自然数を作る時、全部で何通りの自然数を作ることができるか。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 の8個の数字から5個を選んで5桁の自然数を作る時、全部で何通りの自然数を作ることができるか。

2. 解き方の手順

まず、8個の数字から5個を選ぶ組み合わせの総数を計算する。これは順列ではなく組み合わせの問題なので、$_8C_5$ で求められる。

$_8C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

次に、選んだ5個の数字を並べて5桁の整数を作る。ただし、先頭の数字が0になる場合は5桁の自然数にならないので、その場合を除外する必要がある。

まず、選んだ5個の数字を並べる順列は、5! = 120 通りである。したがって、5個の数字の選び方と並べ方を考慮すると、

$56 \times 120 = 6720$ 通りとなる。

次に、先頭が0になる場合を除く。

選んだ5個の数字の中に0が含まれる場合について考える。

0を含んだ5個の数字の並び方で、先頭が0になるものを除く。0を含んだ5個の数字の選び方は、残りの7個の数字から4個を選ぶ組み合わせなので、$_7C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通りである。

先頭が0である場合、残りの4個の数字の並べ方は4! = 24 通り。

したがって、先頭が0になる5桁の数字は、$35 \times 24 = 840$ 通り。

求めるべきは、5桁の自然数の数なので、すべての並び方から先頭が0になるものを引く。

$6720 - 840 = 5880$ 通り

別の考え方として、先頭の桁に0が来ないように考える。

まず、千の位を除く4桁に0を含めて4個の数字を並べる場合を考える。

千の位に来る数字は、0を除く7個の数字から選ぶので7通り。

残りの4桁は、残りの7個の数字から4個を選ぶ並べ方なので、$_7P_4 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$ 通り。

したがって、$7 \times 840 = 5880$ 通り。

3. 最終的な答え

5880通り