与えられた3つの関数 $y_1$, $y_2$, $y_3$ を $x$ で微分する問題です。具体的には、以下の微分を計算します。 (1) $\frac{d}{dx}(e^x \sin x)$ (2) $\frac{d}{dx}(e^x \cos x)$ (3) $\frac{d}{dx}(e^x \log x)$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数 $y_1$, $y_2$, $y_3$ を $x$ で微分する問題です。具体的には、以下の微分を計算します。

(1) $\frac{d}{dx}(e^x \sin x)$

(2) $\frac{d}{dx}(e^x \cos x)$

(3) $\frac{d}{dx}(e^x \log x)$

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を利用します。

(1) $y_1 = e^x \sin x$ の微分:

$u = e^x$, $v = \sin x$ とすると、$u' = e^x$, $v' = \cos x$ なので、

$\frac{dy_1}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$

(2) $y_2 = e^x \cos x$ の微分:

$u = e^x$, $v = \cos x$ とすると、$u' = e^x$, $v' = -\sin x$ なので、

$\frac{dy_2}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x \cos x) = e^x \cos x + e^x(-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)$

(3) $y_3 = e^x \log x$ の微分:

$u = e^x$, $v = \log x$ とすると、$u' = e^x$, $v' = \frac{1}{x}$ なので、

$\frac{dy_3}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x \log x) = e^x \log x + e^x \frac{1}{x} = e^x(\log x + \frac{1}{x})$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy_1}{dx} = e^x(\sin x + \cos x)$

(2) $\frac{dy_2}{dx} = e^x(\cos x - \sin x)$

(3) $\frac{dy_3}{dx} = e^x(\log x + \frac{1}{x})$