問題6-1: $f$ が $a \in A$ で微分可能なとき、極限 $\lim_{x \to a} \frac{x^3 f(a) - a^3 f(x)}{x^2 - a^2}$ を $f(a)$, $f'(a)$, $a$ などを用いて表わせ。 問題6-2: 関数 $f(x) = \frac{x}{(x^2+1)^2}$ と $g(x) = \frac{\log x}{x^2}$ ($x>0$) の導関数を求めよ。 問題6-3: 関数 $f(x)$ が $a$ で微分可能なとき、$f(x)^m$ も $a$ で微分可能であることを示せ。ただし $m$ は自然数。

1. 問題の内容

問題6-1: $f$ が $a \in A$ で微分可能なとき、極限 $\lim_{x \to a} \frac{x^3 f(a) - a^3 f(x)}{x^2 - a^2}$ を $f(a)$, $f'(a)$, $a$ などを用いて表わせ。

問題6-2: 関数 $f(x) = \frac{x}{(x^2+1)^2}$ と $g(x) = \frac{\log x}{x^2}$ ($x>0$) の導関数を求めよ。

問題6-3: 関数 $f(x)$ が $a$ で微分可能なとき、$f(x)^m$ も $a$ で微分可能であることを示せ。ただし $m$ は自然数。

2. 解き方の手順

問題6-1:

分子を次のように変形する。

$x^3 f(a) - a^3 f(x) = x^3 f(a) - a^3 f(a) + a^3 f(a) - a^3 f(x) = (x^3 - a^3) f(a) - a^3 (f(x) - f(a))$

したがって、

$\frac{x^3 f(a) - a^3 f(x)}{x^2 - a^2} = \frac{(x^3 - a^3) f(a) - a^3 (f(x) - f(a))}{x^2 - a^2} = \frac{(x-a)(x^2 + ax + a^2) f(a)}{(x-a)(x+a)} - \frac{a^3 (f(x) - f(a))}{x^2 - a^2} = \frac{(x^2 + ax + a^2) f(a)}{x+a} - \frac{a^3 (f(x) - f(a))}{x-a} \cdot \frac{1}{x+a}$

$x \to a$ のとき、

$\lim_{x \to a} \frac{x^3 f(a) - a^3 f(x)}{x^2 - a^2} = \lim_{x \to a} \frac{(x^2 + ax + a^2) f(a)}{x+a} - \lim_{x \to a} \frac{a^3 (f(x) - f(a))}{x-a} \cdot \frac{1}{x+a} = \frac{(a^2 + a^2 + a^2) f(a)}{a+a} - \frac{a^3 f'(a)}{2a} = \frac{3a^2 f(a)}{2a} - \frac{a^2 f'(a)}{2} = \frac{3a f(a)}{2} - \frac{a^2 f'(a)}{2}$

問題6-2:

$f(x) = \frac{x}{(x^2+1)^2}$ の導関数を求める。

$f'(x) = \frac{(x^2+1)^2 \cdot 1 - x \cdot 2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4} = \frac{(x^2+1)^2 - 4x^2 (x^2+1)}{(x^2+1)^4} = \frac{(x^2+1) - 4x^2}{(x^2+1)^3} = \frac{1-3x^2}{(x^2+1)^3}$

$g(x) = \frac{\log x}{x^2}$ の導関数を求める。

$g'(x) = \frac{x^2 \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 2x}{x^4} = \frac{x - 2x \log x}{x^4} = \frac{1 - 2 \log x}{x^3}$

問題6-3:

$f(x)^m$ の $x=a$ における微分可能性を示す。

$g(x) = f(x)^m$ とおく。

$g'(a) = \lim_{x \to a} \frac{g(x) - g(a)}{x - a} = \lim_{x \to a} \frac{f(x)^m - f(a)^m}{x - a}$

$f(x)^m - f(a)^m = (f(x) - f(a)) \sum_{k=0}^{m-1} f(x)^{m-1-k} f(a)^k$

したがって、

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)^m - f(a)^m}{x - a} = \lim_{x \to a} \frac{(f(x) - f(a)) \sum_{k=0}^{m-1} f(x)^{m-1-k} f(a)^k}{x - a} = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \cdot \lim_{x \to a} \sum_{k=0}^{m-1} f(x)^{m-1-k} f(a)^k = f'(a) \cdot \sum_{k=0}^{m-1} f(a)^{m-1-k} f(a)^k = f'(a) \cdot \sum_{k=0}^{m-1} f(a)^{m-1} = f'(a) \cdot m f(a)^{m-1}$

したがって、$g'(a)$ が存在し、$g'(a) = m f(a)^{m-1} f'(a)$ となる。

3. 最終的な答え

問題6-1: $\frac{3a f(a)}{2} - \frac{a^2 f'(a)}{2}$

問題6-2: $f'(x) = \frac{1-3x^2}{(x^2+1)^3}$, $g'(x) = \frac{1 - 2 \log x}{x^3}$

問題6-3: $f(x)^m$ は $a$ で微分可能であり、$(f(x)^m)'|_{x=a} = m f(a)^{m-1} f'(a)$