ボールを、発射位置Sから角度を変えて発射したときの、地面に落下するまでの水平距離を求める問題です。 水平方向から45°の方向にボールを発射した場合の水平距離は「ケコ(1+$\sqrt{}$サ)」であり、水平方向から30°の方向にボールを発射した場合の水平距離は「シス$\sqrt{}$セ」であるという情報が与えられています。 最後に、これらの結果から「ソ」を選択する問題です。「ソ」の選択肢は、30°の方向に発射した方が45°の方向に発射するよりも水平距離が長いか、またはその逆かを選ぶ形式になっています。

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

ボールを、発射位置Sから角度を変えて発射したときの、地面に落下するまでの水平距離を求める問題です。

水平方向から45°の方向にボールを発射した場合の水平距離は「ケコ(1+$\sqrt{}$サ)」であり、水平方向から30°の方向にボールを発射した場合の水平距離は「シス$\sqrt{}$セ」であるという情報が与えられています。

最後に、これらの結果から「ソ」を選択する問題です。「ソ」の選択肢は、30°の方向に発射した方が45°の方向に発射するよりも水平距離が長いか、またはその逆かを選ぶ形式になっています。

2. 解き方の手順

まず、一般的な運動方程式を考えます。初速度を$v_0$、発射角度を$\theta$、重力加速度を$g$とします。

水平方向の速度成分は$v_0 \cos{\theta}$で一定です。

垂直方向の速度成分は$v_0 \sin{\theta} - gt$と表されます。

ボールが地面に落下するまでの時間を$T$とすると、$v_0 \sin{\theta} - gT = -v_0 \sin{\theta}$となります。（最高点からの落下時間と考えた場合）

よって、$T = \frac{2v_0 \sin{\theta}}{g}$となります。

水平距離$L$は、$L = v_0 \cos{\theta} \cdot T = v_0 \cos{\theta} \cdot \frac{2v_0 \sin{\theta}}{g} = \frac{v_0^2}{g} \cdot 2\sin{\theta}\cos{\theta} = \frac{v_0^2}{g} \sin{2\theta}$となります。

- 45°の場合:

$\theta = 45^\circ$なので、$L_{45} = \frac{v_0^2}{g} \sin{90^\circ} = \frac{v_0^2}{g}$となります。

問題文から、この値は「ケコ(1+$\sqrt{}$サ)」の形になります。ここで、問題文の形式に合わせるため、初期速度$v_0$と重力加速度$g$を具体的に定めないと、この部分の穴埋めはできません。しかし、角度による比較のため、この穴埋めは不要です。

- 30°の場合:

$\theta = 30^\circ$なので、$L_{30} = \frac{v_0^2}{g} \sin{60^\circ} = \frac{v_0^2}{g} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$となります。

問題文から、この値は「シス$\sqrt{}$セ」の形になります。同様に、問題文の形式に合わせるため、初期速度$v_0$と重力加速度$g$を具体的に定めないと、この部分の穴埋めはできません。しかし、角度による比較のため、この穴埋めは不要です。

$L_{45}$と$L_{30}$を比較します。

$L_{45} = \frac{v_0^2}{g}$

$L_{30} = \frac{v_0^2}{g} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 < 1$なので、$L_{45} > L_{30}$となります。

3. 最終的な答え

① ボールを水平方向から45°の方向に発射した方が、水平方向から30°の方向に発射するより、ボールが地面に落下するまでの間に進んだ水平距離が長い