$xy$ 平面上の 2 次元ベクトル場 $\vec{F} = -y\vec{i} + 2x\vec{j}$ の回転を計算しなさい。さらに、ベクトル場 $-\vec{F}$ の回転も計算し、$\text{rot} \vec{F}$ と $\text{rot} (-\vec{F})$ の関係を $x, y, z$ 座標を用いて説明しなさい。

1. 問題の内容

$xy$ 平面上の 2 次元ベクトル場 $\vec{F} = -y\vec{i} + 2x\vec{j}$ の回転を計算しなさい。さらに、ベクトル場 $-\vec{F}$ の回転も計算し、$\text{rot} \vec{F}$ と $\text{rot} (-\vec{F})$ の関係を $x, y, z$ 座標を用いて説明しなさい。

2. 解き方の手順

(1) ベクトル場 $\vec{F}$ の回転を計算します。2次元ベクトル場 $\vec{F} = P(x, y)\vec{i} + Q(x, y)\vec{j}$ の回転は、

$\text{rot} \vec{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$

で与えられます。本問題では、$P(x, y) = -y$、$Q(x, y) = 2x$ なので、

$\text{rot} \vec{F} = \frac{\partial (2x)}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} = 2 - (-1) = 3$

となります。

(2) ベクトル場 $-\vec{F}$ の回転を計算します。 $-\vec{F} = y\vec{i} - 2x\vec{j}$ なので、$P(x, y) = y$、$Q(x, y) = -2x$ となります。したがって、

$\text{rot} (-\vec{F}) = \frac{\partial (-2x)}{\partial x} - \frac{\partial (y)}{\partial y} = -2 - 1 = -3$

となります。

(3) $\text{rot} \vec{F}$ と $\text{rot} (-\vec{F})$ の関係について説明します。

$\text{rot} \vec{F} = 3$

$\text{rot} (-\vec{F}) = -3$

であるため、$\text{rot} (-\vec{F}) = - \text{rot} \vec{F}$ が成り立ちます。これは、ベクトル場 $\vec{F}$ の向きを反転させると、回転の向きも反転することを意味します。

3 次元空間では、回転はベクトルとして表現され、z軸方向を向きます。すなわち、 $\text{rot} \vec{F} = 3\vec{k}$ 、 $\text{rot} (-\vec{F}) = -3\vec{k}$ となります。

3. 最終的な答え

$\text{rot} \vec{F} = 3$

$\text{rot} (-\vec{F}) = -3$

$\text{rot} (-\vec{F}) = - \text{rot} \vec{F}$