効用関数 $u(x, y) = xy$ のもとで、x財の価格が $p_x > 0$、y財の価格が $p_y > 0$、所得が $m > 0$ であるときの最適消費プラン (x, y) を求める問題です。

1. 問題の内容

効用関数 $u(x, y) = xy$ のもとで、x財の価格が $p_x > 0$、y財の価格が $p_y > 0$、所得が $m > 0$ であるときの最適消費プラン (x, y) を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、ラグランジュ乗数法を使用します。

まず、ラグランジュ関数 $L$ を定義します。

$L(x, y, \lambda) = xy + \lambda(m - p_x x - p_y y)$

ここで、$\lambda$ はラグランジュ乗数です。

次に、$L$ を $x, y, \lambda$ で偏微分し、それぞれの偏微分が 0 になるように連立方程式を立てます。

$\frac{\partial L}{\partial x} = y - \lambda p_x = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = x - \lambda p_y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = m - p_x x - p_y y = 0$

これらの式を解きます。

最初の2つの式から、

$\lambda = \frac{y}{p_x}$

$\lambda = \frac{x}{p_y}$

したがって、

$\frac{y}{p_x} = \frac{x}{p_y}$

$y = \frac{p_x}{p_y} x$

これを予算制約式 $m - p_x x - p_y y = 0$ に代入すると、

$m - p_x x - p_y \frac{p_x}{p_y} x = 0$

$m - p_x x - p_x x = 0$

$m - 2 p_x x = 0$

$x = \frac{m}{2 p_x}$

次に、$y$ を求めます。

$y = \frac{p_x}{p_y} x = \frac{p_x}{p_y} \frac{m}{2 p_x} = \frac{m}{2 p_y}$

3. 最終的な答え

最適消費プランは、

$x = \frac{m}{2 p_x}$

$y = \frac{m}{2 p_y}$