2つの財 $x$ と $y$ があり、効用関数が $u(x, y) = x^{\frac{1}{7}}y^{\frac{6}{7}}$ で与えられています。各財の価格は $p_x > 0$、$p_y > 0$ であり、所得は $m > 0$ です。ラグランジュ乗数法を用いて、最適消費プラン $(x^*, y^*)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの財 $x$ と $y$ があり、効用関数が $u(x, y) = x^{\frac{1}{7}}y^{\frac{6}{7}}$ で与えられています。各財の価格は $p_x > 0$、$p_y > 0$ であり、所得は $m > 0$ です。ラグランジュ乗数法を用いて、最適消費プラン $(x^*, y^*)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

ラグランジュ関数を定義します。

$L(x, y, \lambda) = x^{\frac{1}{7}}y^{\frac{6}{7}} + \lambda(m - p_x x - p_y y)$

ラグランジュ関数の各変数に関する偏微分を計算し、それぞれを0とおきます。

$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{1}{7}x^{-\frac{6}{7}}y^{\frac{6}{7}} - \lambda p_x = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = \frac{6}{7}x^{\frac{1}{7}}y^{-\frac{1}{7}} - \lambda p_y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = m - p_x x - p_y y = 0$

最初の2つの式から $\lambda$ を消去します。

$\lambda = \frac{1}{7p_x}x^{-\frac{6}{7}}y^{\frac{6}{7}}$

$\lambda = \frac{6}{7p_y}x^{\frac{1}{7}}y^{-\frac{1}{7}}$

$\frac{1}{7p_x}x^{-\frac{6}{7}}y^{\frac{6}{7}} = \frac{6}{7p_y}x^{\frac{1}{7}}y^{-\frac{1}{7}}$

$p_y y = 6 p_x x$

これを予算制約式 $m - p_x x - p_y y = 0$ に代入します。

$m - p_x x - 6p_x x = 0$

$m - 7p_x x = 0$

$x^* = \frac{m}{7p_x}$

$y^* = \frac{6p_x x}{p_y} = \frac{6p_x}{p_y} \frac{m}{7p_x} = \frac{6m}{7p_y}$

3. 最終的な答え

最適消費プランは以下の通りです。

$x^* = \frac{m}{7p_x}$

$y^* = \frac{6m}{7p_y}$