2種類の財 $x$ と $y$ があり、効用関数が $u(x, y) = x^{\frac{1}{7}}y^{\frac{6}{7}}$ で与えられています。財 $x$ の価格を $p_x > 0$、財 $y$ の価格を $p_y > 0$、所得を $m > 0$ とするとき、ラグランジュ乗数法を用いて最適消費計画 $(x^*, y^*)$ を求めます。

1. 問題の内容

2種類の財 $x$ と $y$ があり、効用関数が $u(x, y) = x^{\frac{1}{7}}y^{\frac{6}{7}}$ で与えられています。財 $x$ の価格を $p_x > 0$、財 $y$ の価格を $p_y > 0$、所得を $m > 0$ とするとき、ラグランジュ乗数法を用いて最適消費計画 $(x^*, y^*)$ を求めます。

2. 解き方の手順

ラグランジュ関数 $L$ を以下のように定義します。

$L(x, y, \lambda) = x^{\frac{1}{7}}y^{\frac{6}{7}} + \lambda(m - p_x x - p_y y)$

ここで、$\lambda$ はラグランジュ乗数です。最適化の1階条件は、以下の通りです。

$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{1}{7}x^{-\frac{6}{7}}y^{\frac{6}{7}} - \lambda p_x = 0$ (1)

$\frac{\partial L}{\partial y} = \frac{6}{7}x^{\frac{1}{7}}y^{-\frac{1}{7}} - \lambda p_y = 0$ (2)

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = m - p_x x - p_y y = 0$ (3)

式(1)と(2)から$\lambda$を消去します。

$\lambda = \frac{1}{7p_x}x^{-\frac{6}{7}}y^{\frac{6}{7}} = \frac{6}{7p_y}x^{\frac{1}{7}}y^{-\frac{1}{7}}$

$\frac{1}{7p_x}x^{-\frac{6}{7}}y^{\frac{6}{7}} = \frac{6}{7p_y}x^{\frac{1}{7}}y^{-\frac{1}{7}}$

$\frac{1}{p_x}x^{-1}y = \frac{6}{p_y}$

$y = 6 \frac{p_x}{p_y} x$ (4)

式(4)を予算制約式(3)に代入します。

$m - p_x x - p_y (6 \frac{p_x}{p_y} x) = 0$

$m - p_x x - 6 p_x x = 0$

$m - 7 p_x x = 0$

$x^* = \frac{m}{7p_x}$

この$x^*$を式(4)に代入して、$y^*$を求めます。

$y^* = 6 \frac{p_x}{p_y} (\frac{m}{7p_x}) = \frac{6m}{7p_y}$

したがって、最適消費計画は $(x^*, y^*) = (\frac{m}{7p_x}, \frac{6m}{7p_y})$ となります。

3. 最終的な答え

最適消費計画は $(x^*, y^*) = (\frac{m}{7p_x}, \frac{6m}{7p_y})$ です。